đường cong(tiểu hành tinh, không liên quan, tiến hóa, Limaçon, tim mạch, Đường cong lấp đầy không gian)

english curve

tóm lược

  • một quả bóng chày được ném với độ xoáy để đường đi của nó cong khi nó đến gần người đánh bóng
  • đoạn cong (của đường bộ hoặc đường sông hoặc đường sắt, v.v.)
  • tài sản sở hữu bởi đường cong của một đường hoặc bề mặt
  • tốc độ thay đổi (tại một điểm) của góc giữa đường cong và tiếp tuyến với đường cong
  • một dòng trên biểu đồ biểu thị dữ liệu
  • dấu vết của một điểm có hướng chuyển động
  • một đường cong hoặc uốn cong, thường bất thường
    • độ cong của cột sống

Tổng quan

Trong toán học, một đường cong (còn được gọi là một đường cong trong các văn bản cũ) là một đối tượng tương tự như một đường không nhất thiết phải thẳng.
Theo trực giác, một đường cong có thể được coi là dấu vết do một điểm chuyển động để lại. Đây là định nghĩa đã xuất hiện cách đây hơn 2000 năm trong Elements của Euclid: "Đường [cong] là […] loài đầu tiên về số lượng, chỉ có một chiều, cụ thể là chiều dài, không có chiều rộng cũng như chiều sâu, và là không gì khác hơn là dòng chảy hoặc đường chạy của điểm mà […] sẽ rời khỏi trí tưởng tượng của nó để di chuyển một số vết tích theo chiều dài, miễn là bất kỳ chiều rộng nào. "
Định nghĩa này về đường cong đã được chính thức hóa trong toán học hiện đại như: Đường cong là hình ảnh của một hàm liên tục từ một khoảng đến một không gian tôpô . Trong một số ngữ cảnh, hàm xác định đường cong được gọi là tham số hóa và đường cong là đường cong tham số. Trong bài viết này, những đường cong này đôi khi được gọi là đường cong tôpô để phân biệt chúng với các đường cong hạn chế hơn, chẳng hạn như đường cong phân biệt. Định nghĩa này bao gồm hầu hết các đường cong được nghiên cứu trong toán học; các trường hợp ngoại lệ đáng chú ý là các đường cong mức (là sự kết hợp của các đường cong và các điểm cô lập) và các đường cong đại số (xem bên dưới). Đường cong mức và đường cong đại số đôi khi được gọi là đường cong ngầm định, vì chúng thường được xác định bằng các phương trình ngầm định.
Tuy nhiên, loại đường cong tôpô rất rộng và chứa một số đường cong trông không giống như người ta có thể mong đợi đối với một đường cong, hoặc thậm chí không thể vẽ được. Đây là trường hợp của đường cong lấp đầy không gian và đường cong gãy khúc. Để đảm bảo tính đều đặn hơn, hàm xác định đường cong thường được cho là có thể phân biệt được, và đường cong sau đó được cho là đường cong có thể phân biệt.
Đường cong đại số phẳng là tập hợp 0 của một đa thức trong hai giá trị không xác định. Nói một cách tổng quát hơn, một đường cong đại số là tập 0 của một tập hữu hạn các đa thức, thỏa mãn điều kiện khác là một đa thức đại số có chiều một. Nếu hệ số của đa thức thuộc trường k, thì đường cong được cho là xác định trên k. Trong trường hợp phổ biến của một đường cong đại số thực, với k là trường của các số thực, một đường cong đại số là một liên hợp hữu hạn của các đường cong tôpô. Khi xem xét các số không phức tạp, người ta có một đường cong đại số phức , theo quan điểm cấu trúc liên kết, không phải là một đường cong, mà là một bề mặt, và thường được gọi là bề mặt Riemann. Mặc dù không phải là đường cong theo cách hiểu thông thường, các đường cong đại số được xác định trên các lĩnh vực khác đã được nghiên cứu rộng rãi. Đặc biệt, các đường cong đại số trên một trường hữu hạn được sử dụng rộng rãi trong mật mã hiện đại.

Những đường không phải là đường thẳng thường được gọi là đường cong, và "Stoikeia" của Euclid, một tác phẩm kinh điển của toán học, cũng có quan điểm này. Tuy nhiên, trong toán học hiện đại, đường cong đồng nghĩa với đường thẳng, và đường thẳng cũng được bao gồm trong chúng. Euclid tuyên bố rằng "một đoạn thẳng là một chiều dài không có chiều rộng và điểm cuối của nó là một điểm", đưa ra lời giải thích cơ bản về một đường, nghĩa là một đường cong. Nhưng đây không phải là một định nghĩa hoàn chỉnh. Từ Euclid cho đến nửa sau của thế kỷ 19, đường cong được sử dụng như một khái niệm tầm thường mà không được đưa ra định nghĩa, nhưng ngày nay chúng được định nghĩa bằng biểu diễn phân tích.

Đường cong mặt phẳng

Đầu tiên, chúng ta hãy mô tả một đường cong mặt phẳng, tức là một đường cong trên một mặt phẳng. Đây được coi là hình được tạo thành khi một điểm chuyển động trên mặt phẳng. Do đó, giới thiệu tọa độ trực giao trên mặt phẳng, nếu vị trí của điểm tại thời điểm t (x, y)x, y được biểu diễn bởi t của hàm f (t), g (t ). Hơn nữa, nếu xét các điểm có tọa độ là ( f ( t ), g ( t )) với mọi t trong một đoạn nhất định, tất cả chúng đều là các đường cong ban đầu. Vì lý do này, một đường cong phẳng là khi fg được xác định là một hàm được xác định trong một khoảng và các điểm ( f ( t ), g ( t )) được coi là với mọi t thuộc khoảng đó. Có thể nói, đó là một con số làm được. Đường cong này được biểu diễn bởi x = f ( t ) và y = g ( t ), và đây được gọi là biểu diễn tham số bởi tham số t. Ví dụ, một đường thẳng đi qua hai điểm (a, b ), ( c , d ) sử dụng t thuộc toàn bộ khoảng (-∞, ∞) làm tham số và x = a + ( c - a ) t , y = b +. ( D - b ) Được biểu thị dưới dạng t (Hình.) 1 ), (A, chu vi bán kính r có tâm tại b), là biến trung gian t thuộc khoảng đóng [0,2π], x = a + r cos t, y = b + r sin t và bảng được hoàn thành ( nhân vật 2 ). Đồ thị của hàm số y = f ( x ) được hiển thị dưới dạng tham số với x = ty = f ( t). Nếu fg là các hàm liên tục thì đường cong biểu diễn bởi x = f ( t ) và y = g ( t ) được gọi là đường cong liên tục. Đường cong liên tục khi miền của fg là một khoảng đóng [ a , b ] được gọi là cung hay đường. Tại thời điểm này, ( f ( a ), g ( a )) được gọi là điểm đầu, và ( f ( b ), g ( b )) được gọi là điểm cuối. Cả hai được gọi chung là điểm cuối. Một cung có các điểm cuối phù hợp được gọi là một đường cong khép kín hoặc vòng lặp vòng lặp. Khi tt ′ và ( f ( t ), g ( t )), ( f ( t ′), g ( t ′)) biểu diễn cùng một điểm, điểm này được gọi là điểm trùng nhau. Một cung không có các điểm trùng nhau được gọi là một cung đơn giản và một cung không có các điểm trùng nhau ngoài các điểm cuối được gọi là một đường cong khép kín đơn giản hoặc một đường cong Jordan. Một cung đơn giản cùng pha với một đoạn thẳng và một đường cong khép kín duy nhất cùng pha với chu vi. Một đường cong khép kín duy nhất chia máy bay thành hai vùng, bên trong và bên ngoài. Khi hai điểm bất kỳ trong một tập hợp bao gồm một đường cong khép kín duy nhất và các điểm bên trong nó luôn được nối với nhau bằng một đoạn thẳng trong tập hợp đó, thì đường cong đóng đơn ban đầu được gọi là đường cong hình bầu dục hoặc đường cong đóng lồi. Trong số các đường cong liên tục, có các cung tròn (đường cong Peano) lấp đầy bên trong một hình vuông và các đường cong đơn khép kín không thể tiếp tuyến với bất kỳ đường cong nào trong số chúng. Uốn cong và thể hiện tình trạng bệnh lý như vậy, tránh đường cong, chẳng hạn như cung bị thoái hóa đến điểm, để đảm bảo hơn nữa độ trơn của đường cong, thông thường, khi đường cong đó, với hầu hết tất cả t, f (t ), G ( t ) có thể phân biệt với bất kỳ số lần nào, và giả thiết rằng các đạo hàm f ′ ( t ) và g ′ ( t ) không trở thành 0 đồng thời. Tích phân cho ab trong định nghĩa của fg,được gọi là độ dài cung từ điểm (f ( a ), g ( a )) đến điểm ( f ( b ), g ( b)). Khi một điểm cố định được lấy trên một đường cong, điểm trên đường cong được xác định bởi độ dài cung từ điểm cố định đến điểm đó, do đó, đường cong được biểu thị với độ dài cung như một tham số. Biểu diễn tham số này rất hữu ích và thường được sử dụng. Màn hình tham số của chu vi nói trên là màn hình này khi r = 1.

Đường cong C của tham số x = f (t), bằng cách xóa t khỏi phương trình y = g (t), F (x, y) = 0 thu được phương trình có dạng. Phương trình này biểu diễn biểu thức quan hệ giữ giữa tọa độ x và tọa độ y của điểm trên đường cong C , và cũng biểu diễn đường cong C. Phương trình này F ( x , y ) = 0 được gọi là phương trình của đường cong C . Ví dụ, phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm (a, b), (c, d) là (d - b) (x - a) - (c - a) (y - b) = 0, và ( a , b). Phương trình chu vi của bán kính r có tâm) là (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 - r 2 = 0. F (x, y) = 0 khi nào là dạng của y = f (x ) tan cho y là đồ thị của F (x, y) = đường cong biểu diễn bởi 0 của hàm y = f (x). Đường cong cũng có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng tọa độ cựcG ( r , θ) = 0. Khi F ( x , y ) là một đa thức đối với x , y , thì đường cong biểu diễn bởi F ( x , y ) = 0 được gọi là một đại số đường cong, và khi bậc của đa thức là n , đây được gọi là đường cong bậc n. Đường cong tuyến tính là một đường thẳng Đường cong bậc hai Là một phần hình nón (elip, hyperbol, parabol và hai đường thẳng cắt nhau). Một đường cong không phải là đường cong đại số được gọi là đường cong siêu việt. Ví dụ, các đường cong hàm mũ và đường cong sin xuất hiện dưới dạng đồ thị của y = e xy = sin x là các đường cong siêu nghiệm.

Đường cong không gian

Một đường cong trong không gian được gọi là đường cong không gian. Khi một điểm trong không gian được biểu diễn bởi (x , y , z ) sử dụng hệ tọa độ Descartes, thì đường cong không gian có f , gh là một hàm được xác định trong một khoảng, như trong trường hợp đường cong phẳng và x = f ( Các tham số được hiển thị dưới dạng t), y = g ( t ), z = h ( t). Ví dụ, một biểu đồ với một gradient t không đổi trên một mặt trụ bên phải có bán kính a, đứng vuông góc với một mặt phẳng nằm ngang. 3 Phương trình của đường kiếm như thế này được hiển thị dưới dạng tham số như x = a cos t , y = a sin t , z = bt ( b = a tan t) nếu lấy các trục tọa độ trong hình. Đường cong không gian cũng được biểu diễn bằng một hệ phương trình như F ( x , y , z ) = 0, G ( x , y , z ) = 0, có được bằng cách loại bỏ tham số khỏi biểu diễn tham số của nó. Điều này tương ứng với một đường cong không gian nói chung là giao điểm của hai bề mặt cong. Đối với đường cong không gian, các khái niệm như đường cong kín, độ dài và đường cong đại số được định nghĩa theo cách tương tự như đối với đường cong phẳng.

Tiến hóa, bất khả xâm phạm

Đối với một điểm P trên mặt phẳng cong C , xét một đường tròn đi qua P và hai điểm Q, R trên C gần nó. Đường tròn giới hạn khi Q và R của đường tròn này được đưa lại gần P dọc C được gọi là đường tròn cong của C tại P. Khi đường cong để vẽ tâm của đường tròn cong và Γ tại mỗi điểm của C,Γ được gọi là sự tiến hóa hoặc tiến hóa nhanh của C, bất khả xâm phạm hoặc bất khả xâm phạm của C Γ. C bất biến là một đường cong được vẽ bởi điểm cuối của chỉ khi sợi chỉ quấn quanh Γ được nới lỏng trong khi được kéo căng (Hình.). Bốn ).

Các đường cong mặt phẳng khác nhau

Tiếp theo, chúng tôi liệt kê các đường cong máy bay đặc biệt nổi tiếng trong lịch sử.

(1) Đường cong lập phương được biểu diễn bởi phương trình y 2 ( a - x ) = x 3 ( a là hằng số dương) được gọi là đường nước rút hoặc đường cissoid (Hình.). Số năm ). Xét một đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối gốc tọa độ O và điểm A ( a , 0), và gọi R là giao điểm của đường thẳng OQ và đường thẳng x = a đối với điểm di động Q trên chu vi. Nếu đặt điểm P trên đỉnh sao cho độ dài OP và QR bằng nhau thì P vẽ đường cong này. (2) Đường cong tứ phân biểu diễn bởi phương trình (x - a ) 2 ( x 2 + y 2 ) = b 2 x 2 ( ab là các hằng số dương) được gọi là đường đồng quy hoặc đường xoắn ốc (Hình 6 ). Cho điểm Q di động trên đường thẳng x = a , nếu lấy đoạn thẳng QP có độ dài b về hai phía của Q trên đoạn thẳng OQ thì P vẽ đường cong này. (3) Đường cong tứ phân được biểu diễn bởi phương trình (x 2 + y 2 - ax ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) ( ab là các hằng số dương) là đường Limacon limaçon hoặc đường cực ốc tai. (Nhân vật 7 ). Khi lấy điểm Q di động trên chu vi có đường kính là đoạn thẳng nối gốc O và A ( a , 0) và đoạn thẳng QP có độ dài b được lấy về hai phía của Q trên đoạn thẳng OQ thì P. là đường cong này. Vẽ tranh. Limason khi a = b thường được gọi là hình tim hoặc hình trái tim (hình vẽ). số 8 ). Nói chung, đường cong được vẽ bởi chân của đường vuông góc vẽ từ một điểm cố định O đến mỗi tiếp tuyến của đường cong C không đổi được gọi là đường cong bàn đạp liên quan đến O của C. Khi xét một đường tròn có bán kính b có tâm ở A, Limason là một đường cong bàn đạp đối với điểm gốc O của đường tròn này (Hình.). 9 ). Ở trên (1), (2) và (3) là các đường cong được sử dụng để giải bài toán khối lập phương nhân đôi và bài toán phân chia góc. (4) Đường cong lập phương được biểu diễn bởi phương trình x 3 + y 3 = 3 axy ( a là hằng số dương) được gọi là đường lá Descartes của Descartes (Hình.). Mười ). Đoạn thẳng OQ và OR dài hơn, trong đó R là giao điểm của đường thẳng OQ và đường thẳng x + y + a = 0 đối với điểm di động Q trên elip x 2 - xy + y 2 - ax - ay = 0. Nếu lấy điểm P ở trên sao cho độ dài OP bằng hiệu giữa độ dài OQ và OR thì P vẽ đường cong này. (5) Phương trình (x 2 + y 2) 2 -2 a 2 (x 2 - y 2) = b 4 - a 4 (a, b là hằng số dương) đường cong bậc bốn biểu diễn đường cong Cassini Đường cong của Cassini (Hình 11 ). Đây là đường cong được vẽ bởi điểm P sao cho tích của khoảng cách từ hai điểm A ( a , 0) và B ( −a , 0) bằng b 2. Đường cong Cassini khi b = a , nghĩa là đường cong biểu diễn bởi ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 ( x 2 - y 2 ) thường được gọi là lemniscate hoặc renju. Đây là đường cong bàn đạp đối với gốc O của hyperbol góc vuông x 2 - y 2 = 2 a 2 (Hình.) 12 ). (6) Khi một đường cong khác Γ lăn trên đường cong C không đổi mà không bị trượt, đường cong được vẽ bởi điểm P cố định với Γ được gọi là cò quay roulette hoặc đường cong xoay, C là đường dưới cùng và Γ là Γ. Đường cong lăn P được gọi là cực. Một cò quay có đường đáy thẳng và đường cong chu vi được gọi là đường xoáy lốc xoáy hoặc đường con lắc khi các cực nằm trên đường cong lăn, và ngược lại là trochoid trochoid (hình vẽ). 13 14 ). Nếu bán kính của đường tròn là đường lăna và khoảng cách từ tâm đến cực là b thì trochoid được biểu thị là x = at - b sin ty = a - b cos t với góc quay t là tham số. Sẽ được thực hiện. Ở đây, nếu a = b , công thức biểu thị một xycloid. Roulette khi cả đường đáy và đường cong lăn đều là đường tròn và hai đường tròn này nằm ngoài (nội tiếp) được gọi là vòng tròn ngoại tiếp (vòng xoáy trong) hoặc siêu vòng tròn ngoại vi (hypocycloid) khi cực nằm trên đường cong lăn. Nếu không, nó được gọi là trochoid bên ngoài (trochoid bên trong) hoặc epitrochoid biểu mô (hyprochoid) (hình). 15 16 ). Khi bán kính của đường tròn đáy là a , bán kính của đường tròn là b , và khoảng cách giữa tâm và cực của đường tròn là c thì góc quay t của đường cong lăn được sử dụng làm trung gian và trochoid bên ngoài và trochoid bên trong là x = ( a ± b ) cos tc cos (( a ± b ) / b ) t , y = ( a ± b ) sin t - c sin (( a ± b ) / b ) t ). Ở đây, nếu b = c , công thức biểu thị xycloid bên ngoài và xicloit bên trong. Cycloid bên ngoài khi a = b là một cardioid (hình vẽ) 17 ).cong được biểu diễn bởi 00411401 ( a là hằng số dương) được gọi là một tiểu hành tinh hoặc hình dạng awn. Đây là xoáy thuận bên trong khi a = 4 b (Hình.) 18 ). (7) Hàm cosin hyperbolicđồ của 00411501 được gọi là một xích hoặc một dây xích (hình vẽ). 19 ). Đây là một bánh xe roulette có trục x là đường gạch dưới, parabol y = x 2 / (4 a ) là đường cong lăn và tiêu điểm A (0, a) của parabol này là cực. Phương trình của bất phương trình từ A của đường cong này làtype="inline"/> Đó là 00411602. Đường cong này được gọi là đường cong. Nếu giao điểm của đường tiếp tuyến và trục x tại điểm P trên đường cong này là Q thì độ dài PQ luôn là a (Hình.). 20 ). (8) Các đường cong được biểu diễn bởi r = f (θ) ( f là đơn điệu) sử dụng tọa độ cực thường được gọi là đường xoắn ốc, đường xoắn ốc, đường xoắn ốc, v.v. Cụ thể, các đường cong biểu diễn bởi r = a θ, r = ae b θ , và r = a / θ ( ab là hằng số) được biểu diễn tương ứng là xoắn ốc Archimedes và xoắn ốc logarit. xoắn ốc tương đương), xoắn ốc hypebol (hình vẽ) hai mươi mốt ).type="inline"/> Khi cài đặt 00411702, với t là tham sốsrc="https://mimirbook.com/resource/dictionary/sekaidaihyakka/figure/Đường.png?20210406135752" type="inline" />cong được đại diện bởi 00411802 được gọi là xoắn ốc hoặc clothoid của Cornu (hình vẽ). hai mươi hai ).
Minoru Naooka