phân phối t

english t distribution
Student's t
Probability density function
Student t pdf.svg
Cumulative distribution function
Student t cdf.svg
Parameters ν > 0 {\displaystyle \nu >0} degrees of freedom (real)
Support x ∈ (−∞; +∞)
PDF Γ ( ν + 1 2 ) ν π Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) ν + 1 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!}
CDF

1 2 + x Γ ( ν + 1 2 ) × 2 F 1 ( 1 2 , ν + 1 2 ; 3 2 ; x 2 ν ) π ν Γ ( ν 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}}

where 2F1 is the hypergeometric function
Mean 0 for ν > 1 {\displaystyle \nu >1} , otherwise undefined
Median 0
Mode 0
Variance ν ν 2 {\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}} for ν > 2 {\displaystyle \nu >2} , ∞ for 1 < ν 2 {\displaystyle 1<\nu \leq 2} , otherwise undefined
Skewness 0 for ν > 3 {\displaystyle \nu >3} , otherwise undefined
Ex. kurtosis 6 ν 4 {\displaystyle \textstyle {\frac {6}{\nu -4}}} for ν > 4 {\displaystyle \nu >4} , ∞ for 2 < ν 4 {\displaystyle 2<\nu \leq 4} , otherwise undefined
Entropy

ν + 1 2 [ ψ ( 1 + ν 2 ) ψ ( ν 2 ) ] + ln [ ν B ( ν 2 , 1 2 ) ] (nats) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi \left({\frac {1+\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right]\\[0.5em]+\ln {\left[{\sqrt {\nu }}B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]}\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{matrix}}}

  • ψ: digamma function,
  • B: beta function
MGF undefined
CF

K ν / 2 ( ν | t | ) ( ν | t | ) ν / 2 Γ ( ν / 2 ) 2 ν / 2 1 {\displaystyle \textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {\nu }}|t|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}} for ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

  • K ν ( x ) {\displaystyle K_{\nu }(x)} : Modified Bessel function of the second kind

Tổng quan

Trong xác suất và thống kê, phân phối t của Sinh viên (hoặc đơn giản là phân phối t ) là bất kỳ thành viên nào trong một gia đình phân phối xác suất liên tục phát sinh khi ước tính trung bình của dân số phân phối bình thường trong các tình huống có kích thước mẫu nhỏ và độ lệch chuẩn của dân số là không biết. Nó được phát triển bởi William Sealy Gosset dưới bút danh Sinh viên .
Phân phối t đóng vai trò trong một số phân tích thống kê được sử dụng rộng rãi, bao gồm cả t- test của Sinh viên để đánh giá ý nghĩa thống kê của sự khác biệt giữa hai phương tiện mẫu, xây dựng khoảng tin cậy cho sự khác biệt giữa hai phương tiện dân số và theo tuyến tính Phân tích hồi quy. T -distribution của sinh viên cũng nảy sinh trong việc phân tích Bayesian dữ liệu từ một gia đình bình thường.
Nếu chúng ta lấy một mẫu của các quan sát n từ một phân phối bình thường, thì phân phối t với ν = n - 1 {\ displaystyle \ nu = n-1} độ tự do có thể được định nghĩa là phân phối vị trí của trung bình mẫu liên quan đến giá trị trung bình thực, chia cho độ lệch chuẩn mẫu, sau khi nhân với số hạng chuẩn n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}. Theo cách này, phân phối t có thể được sử dụng để xây dựng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình thực.
Phân phối t có hình dạng đối xứng và hình chuông, giống như phân phối bình thường, nhưng có đuôi nặng hơn, có nghĩa là nó dễ tạo ra các giá trị nằm xa ý nghĩa của nó. Điều này giúp ích cho việc hiểu hành vi thống kê của một số loại tỷ lệ ngẫu nhiên nhất định, trong đó biến thiên của mẫu số được khuếch đại và có thể tạo ra các giá trị bên ngoài khi mẫu số của tỷ lệ này gần bằng không. Phân phối t của Học sinh là một trường hợp đặc biệt của phân phối hyperbol tổng quát.
Cả phân phối Sinh viên. Một trong những phân phối được sử dụng để kiểm tra giả thuyết trong thống kê toán học. Được sử dụng để thử nghiệm / ước tính giá trị trung bình (t test). (Phương trình 1) → Phân phối F / 2 (phân phối) phân phối / Phân phối Poisson