گروپ

english group
Special Operation Group
特殊作戦群
SOG flag.jpg
Official Japanese Special Operations Group Flag
Active March 27, 2004–present
Country  Japan
Branch  Japan Ground Self-Defense Force
Type Special Forces
Role Special operations
Direct Action
Airborne assault
Unconventional Warfare
Reconnaissance
Domestic and International Counter-Terrorism
Size Classified, estimated 300
Part of Ground Self-Defense Force
Garrison/HQ Narashino Garrison, Funabashi, Chiba
Nickname(s) SFGp/Special Forces Group
(New Name)
TOKUSENGUUN,TOKUSEN (In Japanese)
SOG/Special Operations Group (Old Name)
Engagements
  • Iraq War
    • Iraqi occupation
Commanders
Current
commander
Takanori Hirata (Colonel)
Insignia
Identification
symbol
SFGp Pin Badge

خلاصہ

  • کسی بھی یونٹ کے طور پر سمجھے جانے والے اداروں (ممبروں) کی تعداد
  • جمع کرنے کا ایکٹ
  • تہ کرنے کا ایکٹ
    • اس نے نیپکن کو ایک ڈبل گنا دیا
  • کچھ اکٹھا کرنے کا کام
  • کچھ جمع کرنے کا کام
  • جمع کرنے کی سماجی کارروائی
    • انہوں نے اسمبلی کے حق کا مطالبہ کیا
  • ڈریسنگ پتھر کے لئے ایک وسیع کنارے کے ساتھ ایک پتھر کا چمنی کا چھینی
  • بھیڑ کے لئے ایک قلم
  • سلائی کی لکیر میں تنگ دھاگہ کھینچ کر چھوٹے فولڈز یا پکرس پر مشتمل سلائی
  • اجزاء کا ایک نظام کسی خاص مقصد کے لئے اکٹھا ہوا
  • ایک آسان پیکیج یا پارسل (سگریٹ یا فلم کی طرح)
  • ایک بنڈل (خاص طور پر ایک پیٹھ پر اٹھایا)
  • اس کے علاج معالجہ کے ل body جسم کے گرد لپیٹنے کے لئے شیٹ یا کمبل (خشک یا گیلے)
  • ایک ایسی کریم جو جلد کو صاف اور ٹن کرتی ہے
  • کسی جسم کی خاصیت جس کی وجہ کشش ثقل میدان میں اس کا وزن ہوتا ہے
  • کسی ایسی چیز کی پراپرٹی جو وسعت میں عظیم ہے
    • اسے بلک میں خریدنا سستا ہے
    • اسے خط و کتابت کا ایک بڑا پیمانہ ملا
    • برآمدات کا حجم
  • ایک جوڑ حصہ (جیسے جلد یا پٹھوں میں)
  • ایک سیٹ جو بند ہے ، ہم آہنگ ہے ، اس کی شناخت عنصر ہے اور ہر عنصر کا الٹا ہوتا ہے
  • رقم کی رقم کے لئے درخواست
    • بھوک سے مرنے والے بچوں کے لئے رقم اکٹھا کرنے کی اپیل
  • مختلف اشاعتوں پر مشتمل ایک اشاعت
  • ایک بھاری سست آواز (جیسے بھاری اشیاء کے اثرات سے بنائی گئی)
  • متعدد چیزوں کو ایک ساتھ جوڑا یا مجموعی طور پر سمجھا جاتا ہے
  • اس کی پوری طرح سے کوئی بھی مجموعہ
    • اس نے پورا کیوبڈل خریدا
  • اسی طرح کی چیزوں کا ایک مکمل مجموعہ
  • بہت سی ایسی ہی چیزوں کی ایک گروپ بندی
    • درختوں کا ایک گروپ
    • مداحوں کا جھرمٹ
  • ایک کمپیکٹ بڑے پیمانے پر
    • کیچڑ کی ایک گیند نے اسے کندھے پر پکڑ لیا
  • اسی طرح کی چیزوں (اشیاء یا افراد) کا غیر ساختہ مجموعہ
  • افراد کا ایک گروپ ایک جگہ پر
  • پرندوں کا ایک گروپ
  • بھیڑ یا بکری کا ایک گروپ
  • ایک چرچ کی جماعت جو ایک پادری کی رہنمائی کرتی ہے
  • لوگوں کا ایک گروہ جو ایک مشترکہ عقیدے کی پابندی کرتے ہیں اور عادت سے کسی دیئے گئے چرچ میں جاتے ہیں
  • شکار جانوروں کا ایک گروپ
  • عام طور پر عام لوگ
    • جنگجوؤں کو بڑے پیمانے پر سے الگ کریں
    • لوگوں کو طاقت
  • لوگوں کی ایک بڑی تعداد یا لوگوں نے ایک ساتھ سمجھا
    • کیڑوں کا ہجوم پھولوں کے گرد جمع ہوگیا
  • متحرک ہجوم
  • جانوروں کا ایک گروہ (ریوڑ یا ریوڑ) ایک ساتھ چل رہے ہیں
  • مشترکہ مقصد کے حامل لوگوں کا ایک خصوصی حلقہ
  • مجرموں کی انجمن
    • پولیس نے گینگ کو توڑنے کی کوشش کی
    • چوروں کا ایک پیکٹ
  • دوستوں کا ایک غیر رسمی جسم
    • وہ اب بھی اسی ہجوم کے ساتھ گھومتا ہے
  • ایک منظم بھیڑ
    • بچوں کا ایک دستہ
  • قطعی شکل کے بغیر مادے کا ایک جسم
    • ایک بہت بڑا آئس ماس
  • منافع جو منافع کے طور پر ادا نہیں کیا جاتا ہے لیکن کارپوریشن کے کیپیٹل بیس میں شامل کیا جاتا ہے
  • قدرتی نمو یا اضافے سے اضافہ
  • ایک ارضیاتی عمل جو چٹان کے درجہ میں موڑ کا سبب بنتا ہے
  • ایک بڑی تعداد یا رقم یا حد
    • خطوط کا ایک بیچ
    • پریشانی کا سودا
    • بہت پیسہ
    • انہوں نے اسٹاک مارکیٹ میں ٹکسال بنایا
    • باقی فاتحوں کو ہماری بڑی تعداد میں تصاویر میں دیکھیں
    • اس کی قیمت بہت ہوگی
    • متعدد صحافی
    • رقم کا ایک سامان
  • ایک بڑی غیر معینہ تعداد
    • چیونٹیوں کی ایک بٹالین
    • ٹی وی اینٹینا کی ایک بھیڑ
    • مذاہب کی کثرت
  • ایک کونیی یا گول شکل جو تہوں سے بنا ہے
    • رومال میں ایک گنا
    • اس کی پتلون میں ایک کریز
    • ایک بلاک اس کے بلاؤج پر
    • بڑی آنت کی لچک
    • اس کی کہنی کا موڑ
  • دو یا دو سے زیادہ جوہری ایک واحد یونٹ کے ساتھ جڑے ہوئے اور انو کا ایک حصہ بناتے ہیں

جائزہ

خصوصی آپریشن گروپ (特殊作戦群 ، توکشوکاسینگن ) جاپان کی گراؤنڈ سیلف ڈیفنس فورس کی انسداد دہشت گردی یونٹ ہے جو سابق جاپانی دفاعی ایجنسی نے دہشت گردی کی سرگرمیوں کا مقابلہ کرنے اور جاپانی سرزمین پر گوریلا طرز کے حملوں کو روکنے اور گوریلا کے خلاف یکم فضائیہ برگیڈ کی طرح فوجی آپریشن کرنے کے لئے قائم کی تھی۔ دشمن کے کمانڈوز یہ یونٹ ناراشینو ، چیبا کے فنباشی ، چیبا میں یارس ایئر بورن بریگیڈ کے ساتھ واقع ہے۔ یہ یونٹ پہلے اسپیشل آپریشن گروپ کے نام سے جانا جاتا تھا۔
جاپان گراؤنڈ سیلف ڈیفنس فورس میں ان کے خصوصی کردار کی وجہ سے ایس ایف جی پی کو جاپان کی ڈیلٹا فورس کہا جاتا ہے۔
ڈیلٹا فورس کے اہلکار ایس ایف جی پی کی بنیاد قائم کرنے سے قبل جاپان گراؤنڈ سیلف ڈیفنس فورس کی مدد کرنے کے ذمہ دار تھے۔
ایس ایف جی پی کا سویلین ہم منصب جاپانی نیشنل پولیس ایجنسی کی خصوصی حملہ ٹیم ہے۔

تمام مثبت تعداد کے سیٹ پی پر غور کرتے ہوئے ، یہ مندرجہ ذیل چار شرائط کو پورا کرتے ہیں۔ (1) اگر a اور b P کے عناصر ہیں تو ، مصنوع a × b کا تعین ہوتا ہے ، اور a × b بھی P کا عنصر ہوتا ہے۔ (2) ایسوسی ایٹیو قانون ، یعنی ( a × b ) × c = a × ( b × c ) انعقاد کرتا ہے۔ (3) 1 X a = a x 1 = a (شناخت عنصر 1 موجود ہے)۔ (4) a × a1a1 × a = 1 (ایک الٹا عنصر a1 ہوتا ہے)۔

عام طور پر ، ضرب کی تعداد تک محدود نہیں ، ایک سیٹ جی (ایک جوڑنے والے کی تعداد ، جیسے نقشہ سازی کی ترکیب) کی تعریف کی جاتی ہے ، جب یہ چاروں شرائط پر پورا اترتا ہے تو ، جی ایک گروپ ہوتا ہے۔ ٹھوس مثالوں میں ، آپریشن کے ل various مختلف علامتیں ہوسکتی ہیں جیسے × ، + ، اور. ، لہذا اگر ان کی نمائندگی عام طور پر * کرتے ہیں تو ، تعریف مندرجہ ذیل بیان کی جاتی ہے۔

ایک طے شدہ واحد حساب کتاب * سیٹ G ، یعنی ، (1) a ، اگر b G اصل ہے اور قطعی طور پر ایک * b ، G سابق ہے ، مندرجہ ذیل تین شرائط کو آگے بڑھائیں (2) - جب (4) مطمئن ہوجائے ، G کہا جاتا ہے کہ اس آپریشن * کے سلسلے میں ایک گروپ بنائے گا۔ (2) ایسوسی ایٹیو قانون ، یعنی ( a * b ) * c = a * ( b * c ) رکھتا ہے۔ ()) یہاں ایک موزوں ذریعہ ای ہے ، حتی کہ جی کے حلق میں اصل ایک کے لئے بھی ہے ، اور ای * a = a * ای = اے ۔ یہ ای جی، ایک * B = B * ایک = ای بننے طرح اصل ب موجود ہیں میں سے ہر ایک عنصر ایک کے جی (4) کی شناخت عنصر کہتے ہیں. یہ بی کہ الٹا a.

ریاضی کی علامت 0 میں استعمال کرنے کے لئے عام طور پر کے طور پر ایک کیس اتحاد کی نمائندگی کرتا ہے ایک وقت additive کے طور پر کہا جاتا حساب لگا، ایک صفر کے طور پر کہا جاتا ہے، یہ بھی ایک کا معکوس - ایک میں ظاہر ہے، یہ ایک منفی ایک کے طور پر کہا جاتا ہے.

ایک آپریشن ضرب کہا جاتا ہے جب، یہ آپریشن علامت تراش لئے عام ہے (ایک * ب AB ہے) یا استعمال ·، اور شناخت عنصر اکثر 1. ایک کا معکوس کی طرف سے ظاہر کیا جاتا ہے ایک1 کی طرف سے ظاہر کیا جاتا ہے.

اعداد کی جمع اور ضرب کی صورت میں، یہ ہے کہ شرط (5) commutative قانون، ایک * B = B * ایک مطمئن ہے. ایسی صورت میں تبدیلی گروپ یا ابلیسی گروپ کہا جاتا ہے۔ اب سے ، اس حصے میں ، گروپ آپریشن کے لئے علامتیں ختم کردی جائیں گی ، اور اس کی مصنوعات کو عبد لکھا جائے گا۔

توازن گروپ (تعداد کے اضافے اور ضرب سے مختلف آپریشنوں کے ذریعہ گروپ بنانے کی مثال کے طور پر) متبادل گروپ ) ، لیکن میں آپ کو اس کے علاوہ ایک اور آسان مثال پیش کرتا ہوں۔

اس معاملے پر غور کریں جہاں ایک بورڈ جو سامنے اور پیچھے کی تمیز کرسکتا ہے اسے میز پر رکھا گیا ہے۔ پلیٹ کا رخ موڑنے کا عمل ایک ہے ، ای کے ساتھ کچھ نہیں کرنے کی کوشش کر رہا ہے۔ اس پر غور کرتے ہوئے جس میں اے کو دو بار دہرایا جاتا ہے ، وہ اصل حالت میں واپس آجاتا ہے ، لہذا اے = ای ۔ پھر ، صرف اور دو عناصر ، ایک اور ای ، ایک گروپ بناتے ہیں۔ ابھی ، میں نے بورڈ کے واقفیت کے بارے میں نہیں سوچا جب میں نے اسے صرف بورڈ کے سامنے اور پچھلے حصے پر رکھا تھا ، لیکن اگر میں اسی رجحان کو ذہن میں رکھتے ہوئے سوچتا ہوں تو ، ایک پیچیدہ گروپ تشکیل دیا جاسکتا ہے۔

گروپ ہسٹری

ڈگری 5 اور اس سے اوپر کی مساوات کے حل تلاش کرنے کی کوشش میں ، جے ایل لگریج اور وانڈرمونڈ الیکسس تھیوفائل وانڈرمونڈے (1735-96) نے 1770 کے آس پاس کیوبک اور کوآرٹنری کیسز کے حل کی جانچ کی ، اور اس کی جڑیں جڑ کی تشکیل میں پائی گئیں۔ ہم نے اس پر توجہ مرکوز کی کہ جب متبادل بنائے گئے تو قدریں کتنی مختلف تھیں۔ تقریبا نصف صدی کے بعد ، این ایچ ہابیل اور ایوریسٹ نے اس خیال کو آگے بڑھایا ، اور ہابیل پہلے الجبراتی طور پر کثیر الجماعی حل کرتا ہے (گتانک سے شروع ہوتا ہے اور جس کی وجہ سے جڑیں ہوتی ہیں کوینٹک مساوات اور کارروائیوں سے حاصل ہوتی ہے)۔ اور یہ ظاہر کیا کہ کچھ عمومی کوئنٹک کثیرالقمیاں الگ الگ انداز میں حل نہیں کی جاسکتی ہیں۔ گیلوس نے مزید کہا اور کثیر الجماعی کے ایک گروپ (آج کی زبان میں گیلو گروپ) پر غور کیا ، اور جڑوں والے میدان اور اس کے بیچوان کی بھی وضاحت کی ، اور گیلو گروپ کے ڈھانچے اور بیچوان کے مابین تعلقات کو واضح کیا۔ .. یہ گیلوئس ہی تھا جنہوں نے بعد میں بیان کردہ عام سب گروپ کی تعریف کی ، اور گالوئس کے اس مطالعے کو گروپ تھیوری کا آغاز کہا جاسکتا ہے۔ 187 میں شائع سی جورڈن کی کتاب میں گیلوئس تھیوری کو تفصیل سے متعارف کرایا گیا ہے۔ ہم نے جس گروپ کے ساتھ معاملہ کیا وہ ایک مساوات کی جڑوں کا تخفیف گروپ تھا ، اور پھر AL کاکی نے زیادہ عمومی تقویت والے گروپ سے نمٹا لیا ، لیکن خلاصہ تعریف جیسا کہ مذکور ہے آغاز کیلی آرتھر کیلی (محدود گروپوں کی صورت میں) ہے۔ ) اور ایل کرونکر (عام طور پر)۔ جب ہم اس طرح خلاصہ گروپوں کے تصور تک پہنچے تو ، گروپوں اور جیومیٹری کے مابین تعلقات ابھرے ، جس کی وضاحت ایف کلین کے مشہور ایرلانجین پروگرام نے کی۔ اس کے بعد سے ، ریاضی کے بہت سارے شعبوں میں نہ صرف الجبرا اور جیومیٹری ہی میں گروپوں کا تصور بہت بنیادی بن گیا ہے۔ کرسٹاللوگرافی اور کوانٹم میکانکس میں کرسٹل کی درجہ بندی پر بھی اس کا اطلاق ہوتا ہے۔ مرحلے کو گروپ میں رکھیں ٹوپولوجیکل گروپ درخواستوں کی ایک وسیع رینج بھی ہے۔ بہت سارے اہم گروپس ہیں جن کے بارے میں یہ کہا جاسکتا ہے کہ درخواست کے میدان پر منحصر گروپ ہیں ، اور ان میں سے بہت سارے جھوٹ بولنا کہا جاتا ہے میں شامل.

گیلو گروپ کی مثال

آئیے x 6 -2 = 0. مساوات کے گیلو گروپ کو طے کریں اگر 1 کے خیالی مکعب کی جڑیں ω ، −ω 1 کی 6 ویں جڑ ہیں ، اور مذکورہ مساوات کی 6 جڑیں ± 6 \ (\ ہیں sqrt {2} \) ، ω ω 6 \ (q sqrt)۔ {2} \) ، ω ω 2 6 \ (\ sqrt {2} \)۔ گیلو گروپ G کا اصل آزادانہ طور پر 6 جڑوں کی اجازت نہیں ہے ، لیکن اگر اسے اعداد و شمار کے نظام کے طور پر موزوں سمجھا جاتا ہے تو ، 6 \ (q sqrt {2} \) اور ((سابق) میں کاپی کیے جاتے ہیں . 6 جڑوں میں سے ایک ہے ، اور بعد میں ω یا ω 2 ہے ) ، دیگر جڑوں کی منزل کا تعین بھی ہوتا ہے۔type="inline"/> (جیسے 00416302)۔ تو σ، τ،کے مطابق ،

σ ، σ 2 ، σ 3 ، σ 4 ، σ 5 ، σ 6 = 1

τσ ، τσ 2 ، τσ 3 ، τσ 4 ، τσ 5 ، τ

کے 12 عناصر مختلف جی عناصر ہیں۔ چونکہ 6 \ (q sqrt {2} \) میں 6 مقصود ہیں اور 2 میں 2 منزل مقصود ہیں لہذا G کا عنصر 6 × 2 = 12 سے زیادہ نہیں ہوسکتا ہے ، لہذا مذکورہ بالا 12 عناصر گالو ہیں۔ ایک گروپ بنائیں۔ اس گروپ میں ، σ 6 = 1 کے علاوہ ، τ 2 = 1 ، σ = σ 5 = (1 (τστ ω → ω، 6 \ (\ اسکرٹ {2} \) → -ω 2 6 \ (\ ) کیونکہ اسکی کوکرٹ {2} \ کے طور پر کاپی کی گئی ہے))۔

ایک محلول گروپ کا تصور ہے (بعد میں بیان کیا گیا ہے) ، لیکن کسی مساوات کو الگ الگ طور پر حل کرنے کے ل it ، یہ ایک ضروری اور کافی شرط ہے کہ گیلو گروپ ایک قابل حل گروپ ہے۔

یہ معلوم ہے کہ ایک ایسا زاویہ ہے جسے ایک حکمران اور صرف ایک کمپاس کے ساتھ تین برابر حصوں میں تقسیم نہیں کیا جاسکتا ہے۔type="inline"/> 00416702 کا گیلو گروپ دستیاب ہے۔ اس صورت میں ، جب گالو گروپ کے عناصر کی تعداد دو یا اس سے کم ہو تو اس کی طرف متوجہ ہونا ممکن ہے۔ مثال کے طور پر ، یہاں تک کہ اگر θ = 60 ° ، گالو گروپ کے عناصر کی تعداد چھ ہے۔ اس طرح سے ، گیلو گروپ کے پاس مساوات کو حل کرنے کے علاوہ بھی درخواستیں موجود ہیں۔

سب گروپ

مثال کے طور پر ، گروپ P میں جو تمام مثبت اعداد ضرب کے ل، بنتے ہیں ، اگر ہم پورے نمبر H کو 3 M 5 n ( m ، n عددی ہیں) کی شکل میں لیتے ہیں تو ، یہ HP ہے ، اور H اکیلے ہی ایک گروپ بن جاتا ہے . ING اس طرح ، جب ایک گروپ G کا سبسیٹ K بھی خود ہی ایک گروپ ہوتا ہے تو ، K کو G کا ایک ذیلی گروپ کہا جاتا ہے۔ اس مثال H کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ یہ سب سے چھوٹا ذیلی گروپ ہے۔ 3 اور 5 سمیت ، اور اکثر <3 ، 5> کی نمائندگی کرتا ہے۔ ایک گروپ << = {an | کے تحت تیار کیا گیا ہے n = 0، ± 1، ± 2، ......} اور وہ چکراتی گروہ جس کے ذریعہ a. عام طور پر ، گروپ G کے سب گروپ گروپ K کو دیا جاتا ہے ، اگر a اور bG میں Ka = { ka | کے درمیان مشترک عنصر ہے kK } اور Kb = { kb | k ∈ K } ، پھر کا = Kb ۔ کا فارم کے پورے سیٹ پر غور کرتے ہوئے ، ہم G کو سبسیٹس کے اتحاد میں تقسیم کرتے ہیں جس کا کوئی مشترکہ عنصر نہیں ہوتا ہے۔ کا ، دائیں کوسیٹ ماڈیولو کے ("دائیں" ، چونکہ کوئی بھی اسی K کے ذریعہ منتقل کیا گیا ہے وہ دائیں طرف ہے) یا بائیں K کوٹ ("بائیں" ہے کیونکہ K بائیں طرف ہے) وہ ہے۔ بائیں اور دائیں الٹ ساتھ فارم AK کی ایک اپسمچی بھی قابل فہم ہے، لیکن درمیان یہ فرق چھوڑ کب اور حق <KK اور ایکجی، پھر ایک1 کاK> ڈگری حاصل کی جب کہ، ہے، ضروری نہیں ہے . K کو G کا عام ذیلی گروپ کہا جاتا ہے ، اور ہر Ka کو کوسیٹ موڈیولو K کہا جاتا ہے۔ تمام کوسٹوں کے لئے ، (ک ) ( Kb ) = کب کے ضرب کی وضاحت کرکے ایک نیا گروپ بنایا گیا ہے۔ اس گروپ کو آئیڈیل کلاس گروپ کہا جاتا ہے اور اس کی نمائندگی جی / کے کی حیثیت سے ہوتی ہے۔ صورتحال یہ ہے کہ پورا انٹریجر زیڈ ایک گروپ ہے جس میں اضافے کے سلسلے میں ، پورا این زیڈ جو ایک ایک انٹیر (n) کی ایک کثیر ہے ایک سب گروپ ہے ، اور ہر کوسٹ ان لوگوں کا ایک گروپ ہے جو (ن) کے ذریعہ تقسیم ہوا ہے اور باقی باقی ہیں۔ اگر آپ اس کے بارے میں سوچتے ہیں تو ، اس سے آپ کو سمجھنے میں مدد ملے گی۔

حل طلب گروپ

جب H اور K گروپ G کے ذیلی گروپ ہیں تو ، سب سے چھوٹا ذیلی گروپ جس میں {h1 k1 hk شامل ہے | hH ، kK H کو H اور K کا تبادلہ کرنے والا گروپ اور [H ، K ] کہا جاتا ہے۔ دو [H، H] D (H) کے طور پر اظہار کیا جائے. جب G = G 0 سیٹ ہے اور G i + 1 = D ( G i ) سیٹ ہے تو ، G = G 0G 1 ⊇ …… ⊇ G n ⊇ …… ، لیکن G n ایک مخصوص n میں شناخت عنصر ہے۔ یہ صرف ہو جاتا ہے، جی ایک جنکا حل گروپ ہونے کے لئے کہا جاتا ہے. مندرجہ ذیل کے طور پر اگر یہاں سب گروپس کے کالم ہوں تو بھی وہی ہے۔ G = H 0 ⊃ H 1 ⊃ ...... ⊃ H m = {اتحاد} ، ہر H I (i = 1،2، ...... ، n) عام سب گروپ میں H i - 1 ہے ، H i - 1 / H i ایک ابلیسی گروپ ہے۔

مساوات کو الجبرائی طور پر حل کرنے کی شرط کو اتنا نام دیا گیا ہے کیونکہ گیلو گروپ کے پاس یہ خاصیت ہے۔

انڈیکس اور آرڈر

H گروپ صحیح cosets ہا (لامحدود صورتوں پر غور کر) ایک دوسرے سے مختلف ہے کہ ایچ کے مائپادک جی میں اس کی طرف سے ظاہر کیا جاتا ہے کہا جاتا ہے کی تعداد کی ایک ذیلی گروپ ہے جب [G: H]، (G / H)، وغیرہ یہ ایک ہی یہاں تک کہ اس کے بائیں coset کی طرف سے وضاحت کی جاتی ہے تو اس کی ہے. G کی اصل تعداد کو جی کے حکم نامی | جی | ، جس کی نمائندگی ایسے ♯ (G) کرتے ہیں۔ جب یہ محدود ہے ، تو اسے ایک محدود گروپ کہا جاتا ہے۔ جی، یہ ایک کے حکم کی <a> کے ایک ایک حکم کی طرف سے پیدا چکریی گروپ کا عنصر ایک. جب | جی | متناہی ہے، ہر ہا H کے طور پر عناصر کے اسی تعداد پر مشتمل ہوتا ہے، لہذا | جی | = [ G : H ] × | ایچ | حاصل کیا جاتا ہے ، اور سب گروپ ہ آر کا آرڈر اور اس کا خاکہ جی ہے۔ پتہ چلتا ہے کہ یہ آرڈر کا منطق ہے۔

سادہ گروپ

جب G اور {شناخت عنصر than کے علاوہ گروپ G کا کوئی عام ذیلی گروپ نہیں ہوتا ہے ، تو کہا جاتا ہے کہ جی ایک سادہ گروپ ہے۔ جب n ≧ 5 ہوتا ہے تو ، نویں- آرڈر کے متبادل گروپ ( متبادل گروپ ) ایک سادہ گروپ ہے۔ اس حقیقت سے متعلق ہے کہ ڈگری 5 اور اس سے اوپر کی مساوات عام طور پر الگ الگ نہیں ہوجاتی ہیں۔ فیلڈ K پر N- ویں آرڈر خصوصی لکیری گروپ G میں ، پورا اسکیلر میٹرکس N ایک عام ذیلی گروپ ہے ، لہذا ہم G / N کے بارے میں سوچ سکتے ہیں جب N ≥ 2 ، G / N ایک عام گروپ ہے سوائے دو صورتوں میں۔ ( n = 2 اور K کا عنصر 2 یا 3 ہے)۔

مرکز

گروپ G میں ، Z = { xG | کسی بھی yG کے لئے ، xy = yx a ایک عام ذیلی گروپ ہے۔ اس کو G کا مرکز کہا جاتا ہے۔ مذکورہ بالا خصوصی لکیری گروپ G کی صورت میں ، N مرکز ہوتا ہے۔

جب محدود گروپ G کا آرڈر بنیادی نمبر p کا پاور پی ای ہوتا ہے ، تو کہا جاتا ہے کہ p گروپ ہے۔ اگر ای ≥ 1 ، G کے مرکز کا آرڈر p m ( m ≥ 1) ہے۔ لہذا ، مندرجہ ذیل ذیلی گروپ کی ترتیب ہے۔ {یونٹی} = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ ...... ⊂ Z S = جی، ہر میں 1،2 =، ......، اتارنا کے لئے، Z I / Z میں - 1 G ہے / Z i - 1 سنٹر۔ لہذا ، گروپ پی ایک قابل حل گروپ ہے۔

گروپ کی نمائندگی

ایک گروپ G کی جانچ کرنا ، دوسرے گروپ H میں ہومومورزم φ پر غور کرتے ہوئے ، investigate نیوکللی φ⁻ 1 (1) = { xجی کی تفتیش کرنا مفید ہوسکتا ہے φ ( x ) = 1 (شناخت عنصر)} اور φ ( G)۔ اس طرح کے φ اور H پر غور کرنے کو جی کا اظہار کہا جاتا ہے۔ H کا روایتی ہے کہ لکیری گروہ ہے ، اور کسی گروپ کی نمائندگی کا نظریہ عام طور پر اس طرح کی نمائندگی کا نظریہ ہوتا ہے۔ اجازت نامے دیگر قسم کی نمائندگی کی مثال ہیں۔ ایچ گروپ جی کا ایک ذیلی گروپ ہے00416801، پر ایک این ایچ ہر ایک جی ن سیٹ میں 1 ......، کی Permutation کے لئے،

a 1 H a 2 H …… a n H

GA 1 H GA 2 H …… ga n H

کے ساتھ وابستگی کرتے ہوئے ، جی سے نویں آرڈر کے توازن گروپ میں ایک ہوموورزم حاصل کیا جاتا ہے۔

دیہیڈرل گروپ ، باقاعدہ پولی ہائیڈرن گروپ

باقاعدہ ن کثیرالاضلاع گردش اور F کرنے کے لئے F کا دوسرا پہلو کی طرف F کے تبادلوں کی پوزیشن کی وضاحت کے لحاظ گھمایا ہیں میں ن ہیں، (ن) ٹکڑے ٹکڑے ترکیب گردش اندر باہر کے، گروپ کے اصل کی کل 2 N ٹکڑے ٹکڑے پر مشتمل تخلیق . اس طرح کے گروہ کو ڈیہڈرل گروپ کہا جاتا ہے۔ باقاعدگی سے پولی ہیدرون میں باقاعدگی سے ٹیٹراہیڈرون ، باقاعدہ ہیکسہڈرون (یعنی کیوبز) ، باقاعدہ آکٹہیدرونز ، باقاعدہ ڈوڈیکہیدرونز ، اور باقاعدگی سے آئیکوسہڈرون شامل ہیں۔ مثبت این ٹیٹراہڈرون کے کی پوزیشن کا فیصلہ کریں ، کے کے مرکز کے گرد گھومنے میں ، ایک گروہ جو پوری چیزوں کو K کی پوزیشن کو تبدیل نہیں کرتا ہے ، اسے این ٹیٹراہیڈرل گروپ کہتے ہیں ، اجتماعی طور پر ان کا حوالہ دیا جاتا ہے ، وہ باقاعدہ پولی ہیڈرن گروپ ہے۔ ٹیٹرایڈرل گروپ چوتھری باری باری والے گروہ کے لئے آاسمورفک ہے اور اس کا حکم 12 ہے۔ ہیکسہیدرل گروپ ، اوکٹاہیڈرل گروپ ، اور کوآٹرنیری سمترمک گروپ isomorphic ہیں اور اس کا آرڈر 24 ہے۔ اور 60 کا آرڈر ہے۔
ماسایوشی ناگاتا