matematik

english math

özet

  • Miktar ve şekil ve düzenleme mantığıyla uğraşan bir bilim (ya da ilgili bilimler grubu)

genel bakış

Matematik (Yunanca μάθημα máthēma , "bilgi, çalışma, öğrenme") miktar, yapı, mekan ve değişim gibi konuların incelenmesidir. Genel kabul görmüş bir tanımı yoktur.
Matematikçiler yeni varsayımları formüle etmek için modeller ararlar ve kullanırlar; Matematiksel kanıtla, varsayımların gerçekliğini veya yanlışlığını çözerler. Matematiksel yapılar gerçek fenomenlerin iyi modelleri olduğunda, matematiksel akıl yürütme doğa hakkında içgörü ve öngörü sağlayabilir. Soyutlama ve mantık kullanımı yoluyla matematik, sayma, hesaplama, ölçme ve fiziksel nesnelerin şekil ve hareketlerinin sistematik olarak incelenmesinden geliştirilmiştir. Pratik matematik, yazılı kayıtlar olduğu kadarıyla bir insan faaliyeti olmuştur. Matematiksel problemleri çözmek için gerekli olan araştırmalar, yıllar süren ve hatta uzun süredir devam eden soruşturmalara yol açabilir.
Kesin tartışmalar ilk başta Yunan Matematiğinde, özellikle de Euclid'in Elementlerinde yer aldı . Giuseppe Peano'nun (1858–1932), David Hilbert'in (1862–1943) ve 19'uncu yüzyılın sonlarında aksiyomatik sistemler üzerindeki öncü çalışmalarından bu yana, matematiksel araştırmayı doğru olarak seçilmiş aksiyomlardan titiz bir kesinti yaparak gerçeğin oluşturulması olarak görmek geleneksel hale geldi. ve tanımlar. Matematik, Rönesans'a kadar, nispeten yavaş bir tempoda gelişti. Matematiksel yeniliklerin yeni bilimsel keşiflerle etkileşime girmesi, günümüze kadar devam eden matematiksel keşif hızının hızla artmasına neden oldu.
Galileo Galilei (1564–1642), "Evren, dili öğrenene ve yazılan karakterlere aşina olana kadar okunamaz. Matematiksel dilde yazılır ve harfler üçgenler, daireler ve diğer geometrikdir. figürler, bu olmadan tek bir kelimeyi anlamak imkansızdır. Bunlar olmadan, karanlık bir labirentte dolaşıyor. " Carl Friedrich Gauss (1777–1855) matematiği “Bilimin Kraliçesi” olarak adlandırdı. Benjamin Peirce (1809–1880) matematiği "gerekli sonuçları çıkaran bilim" olarak adlandırdı. Matematikten David Hilbert şöyle demişti: "Burada herhangi bir anlamda keyfilikten söz etmiyoruz. Matematik, görevleri keyfi olarak belirlenmiş kurallarla belirlenen bir oyuna benzemez. Daha ziyade, içsel bir zorunluluğa sahip olan ve yalnızca Aksi takdirde hayır demektir. " Albert Einstein (1879–1955), “matematik yasaları gerçeğe atıfta bulunulduğunda, kesin değiller ve kesin oldukları sürece gerçekliğe atıfta bulunmadıklarını” belirtmişlerdir.
Matematik, doğa bilimleri, mühendislik, tıp, finans ve sosyal bilimler de dahil olmak üzere birçok alanda gereklidir. Uygulamalı matematik, istatistik ve oyun teorisi gibi tamamen yeni matematiksel disiplinlere yol açmıştır. Matematikçiler, akıllarında herhangi bir uygulama olmaksızın, saf matematiğe ya da kendi adına matematik yapmaya çalışırlar. Saf matematik olarak başlayan şeyin pratik uygulamaları sıklıkla keşfedilir.

Günümüzün gelişmiş kültürlerinde günlük yaşam esasen bilim ve teknolojiye bağlıdır. Pek fark edilmeyen bir yerde onu arkadan destekleyen matematiktir. Örneğin kent yaşamının temeli olan elektrik, gaz, su, yollar, demiryolları, otomobiller, uçaklar ve diğer ulaşım sistemleri, telefonlar, televizyonlar ve diğer iletişim olanakları, yapay uydular ve bilgisayarlar matematik kullanılmadan tasarlanmaktadır. Üretilemez. Matematik böylece kültürel yaşamın temelini oluştursa da, kendi içinde ileri bir disiplin olarak çalışılmış ve dünyadaki matematikçilerin işbirliğiyle sürekli olarak ilerlemektedir. Bu bursun nasıl bir tarihçe oluşturulduğuna ve bugün nasıl bir karaktere sahip olduğuna dair aşağıda bir genel bakış sunalım.

Matematiğin Kökeni-Yunan Matematiği

Mısır, Babil, Hindistan, Çin gibi kültürün eski çağlardan beri geliştiği yerlerde, sayı ve rakamlarla ilgili bilgiler idari ihtiyaçlardan elde edilmiş ve kendi çıkarlarına yönelik araştırmaların izleri bulunmaktadır. 1930'lardan beri yapılan araştırmalar, Babil bilgisinin özellikle ileri düzeyde olduğunu göstermiştir. Ancak, akademik bir disiplin olarak matematik ilk olarak antik Yunanistan'da yaratılmıştır. Antik Yunan kültürü MÖ 10. yüzyıldan MÖ 6. yüzyıla kadar devam etti ve Akdeniz kıyılarına yayıldı. MÖ 4. yy'da sırasıyla Platon, Aristoteles ve Büyük İskender döneminde kültürel ve siyasi zirvelere sahiptir. Matematikte MÖ 6. yüzyılda Thales ve Pythagoras ile başlayan, MÖ 3. yüzyılda Öklid (Öklid) ve Arşimet önemli olan birçok isim vardır.

Öklid'in ana eseri "Stoikeia (Orijinal Teori)" (Cilt 13) Geometri Aynı zamanda "Geometri Orijinali" olarak da adlandırılır, çünkü bu konuda çok fazla içeriğe sahiptir, ancak aynı zamanda sayılar teorisi ve gerçek sayılar teorisi ile de ilgilenir ve şimdiye kadar elde edilen Yunan matematiğinin sonuçlarının sistematik bir derlemesidir. Zamanın kültür merkezi olan İskenderiye'deki Musaeum Onur Listesi'nde bir ders kitabı gibi kullanılmış ve 19. yüzyıl matematik tarihçileri tarafından neredeyse tamamlanmış gibi görünen birçok el yazması ve metin restore edilmiş gibi görünüyor. .. Açılış cildinin ilk sayfasında "noktalar parçasızdır" gibi bir tanım, ardından "istek" (veya aksiyom) ve "ortak kavram" vardır. Talepte, <Bir doğru iki doğruyu kesiyorsa ve bir kenarda oluşan iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse, iki doğru o tarafa mümkün olduğunca uzatılırsa her zaman kesişirler. . >. Bu, bir düz çizginin dışında bir noktadan geçen ve ona paralel olan (paralel postülat denilen) sadece bir düz çizgi olduğu önermesine eşdeğerdir ve bu daha sonra bir problem haline gelecektir. Ortak kavram aynı zamanda genel bir aksiyom olarak da adlandırılır, çünkü herkes tarafından "aynı şeye eşit olan bazı şeylerin birbirine eşittir" olduğu yaygın olarak kabul edilir. Öte yandan, aksiyomlar geometrik şekillerle ilgili oldukları için bazen geometrik aksiyomlar olarak adlandırılırlar, ancak her ikisi de teorinin başlangıç noktası olarak kabul ettiklerini (veya talep ettiklerini) kabul eder (veya talep eder). Buna aksiyom denir. "Stoikeia" sadece tanımlar ve aksiyomlarla başlar ve tüm sistemi katı bir mantıkla kurmaya çalışır. Kesinliği aslında biraz kusurluydu ve daha sonra tamamlandı, ancak bugün amaçlanan "açıkça ifade edilen temel, yani tanımlar ve aksiyomlarla mantıksal olarak oluşturulmuş bir sistem". Aynı zamanda matematiğin anlamında bir varlıktır. "Stoikeia" yöntemi uzun zamandır genel bilim için bir model olmuştur.

"Stoikeia"nın içeriğine bakıldığında, Cilt 1 ila 6, düz çizgi şekilleri ve dairelerle ilgili düzlem geometrisi ile ilgilenirken, Cilt 5 orantı teorisi (veya gerçek sayılar teorisi) ile ilgilidir. 7-9. ciltler sayı teorisidir ve en büyük ortak böleni bulmak için Öklid algoritması ve asal sayıların sonsuz olduğunun kanıtı içerir. Cilt 10, karekök alınarak elde edilen irrasyonel sayıların sınıflandırma teorisidir. 11 ila 13 arasındaki ciltler katı geometridir ve beş tür düzenli çokyüzlülerin açıklamasıyla sona erer. "Stoikeia", çevrenin uzunluğunun yarıçapı ile orantılı olduğunu ve dairenin alanının karesiyle orantılı olduğunu kanıtlar, ancak pi'nin değeri hakkında hiçbir şey söylenmez. Arşimet 31/7 ile 310/71 arasında olduğunu kanıtlıyor. Ayrıca, bir ucu O noktası olan OA doğru parçası O etrafında sabit bir hızla döndüğünde, OA üzerinde O'dan A'ya sabit bir hızla hareket eden P noktası bir Arşimet spirali çizer. Bununla birlikte, doğru parçasının bir dönüşü sırasında çizilen OPA ve OA dişlerinin çevrelediği alanın, yarıçapı OA olan dairenin alanının 1/3'üne eşit olduğunu da gösterir (Şek.). 1 ). Böyle bir kinematik değerlendirme "Stoikeia" da bulunmaz ve böyle bir kareleme probleminin çözümü daha sonraki integral yönteminin prototipi olarak görülebilir. Üstelik Arşimet sadece bu sonucu belirtmekle kalmaz, <iki nicelik a ve b olduğunda, n doğal sayısı yeterince büyük yapılırsa, na = a + …… + a ( n kez) b'den büyük olur >. (Arşimet ilkesi denir) kullanılarak kanıtlanmıştır. Arşimet'in hala statik veya optik keşifleri ve teknik icatları var, ancak Plutarch kendisinin daha teorik araştırmalara değer verdiğini belirtiyor. O zamanlar Yunan değerlerinin eğilimi buydu.

Yunanistan'da daha sonra konik kesitlerle ilgilenen Pergueli Apollonius, sinüs tablosu oluşturup gezegenin hareketini tanımlayan Ptolemy ve sembolik cebir kullanmaya başlayan ve sayı teorisi problemleriyle uğraşan Diophantine gibi matematikçiler vardı. . Her birinin gelecek nesiller üzerinde bir etkisi vardır.

Cebir-Arap Matematiğinin Kökeni

Roma İmparatorluğu MÖ 1. yüzyılda kuruldu ve Yunan kültür alanı politik olarak onun kontrolü altındaydı. Romalılar siyasette, askeriyede ve inşaat mühendisliğinde pragmatik ve iyiydiler, ancak herhangi bir matematiksel yaratıcılık bulamadılar. 7. yüzyıldan 12. yüzyıla kadar Arabistan'da İslam kültürü gelişti ve Yunan bilim ve kültürü burada miras kaldı. Öklid, Arşimet ve Apollonius gibi eserler de Arapçaya çevrilerek incelendi. Arabistan ise doğu ülkeleri ile sınır komşusudur. Yunanistan'da teorik matematik yukarıda anlatıldığı gibi ilerlemiştir ancak notasyon sistemi elverişsizdir ve uzun süredir hesaplama tekniği için ondalık sistem kullanılmaktadır ve boşluğu temsil eden sıfırı bilen Hindistan kadar iyi değildir. . 9. yüzyılda Bağdat'ta çalışan Hua Lisme, Hint matematiğinden etkilenen hesaplamalı ve cebirsel denklemler üzerine, lineer ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini anlatan kitaplar yazdı. Cebirin orijinal kelimesi olan cebir kitabın adından, aritmetik anlamına gelen algoritma algoritması da Huhammad ibn (el bir makaledir) adından türetilmiştir. Ayrıca, 12. yüzyıl şairi Omar Khayyam da bir astronom ve matematikçiydi, takvim reformuyla uğraştı ve bir cebir kitabı bıraktı. Konik bölümlerin kesişimlerini kullanarak bir kübik denklemin nasıl çözüleceğini açıklar. 8. yüzyılda İslam kültürü doğu Akdeniz'den İspanya'ya yayıldı, ancak 11. yüzyıldan 13. yüzyıla kadar Hıristiyanlar bir haçlı seferi düzenleyerek Doğu-Batı kültürüyle temasın da gerçekleştiği doğuya doğru seyahat ettiler. 13. yüzyılda doğuya seyahat eden bir İtalyan tüccar olan Fibonacci (Pisa'nın Leonardo'su), Arabistan'da uygulanan hesaplama tekniklerini ve cebiri içeren Liber Abaci'yi (1202) yazdı. O zamandan beri cebir İtalya'da ve daha sonra Avrupa'da bilinir hale geldi ve yavaş yavaş gelişti. 16. yüzyılda İtalya'da kübik ve kuartik denklemlerin çözümleri de mevcuttur. Bugün dünya çapında kullanılan Arap rakamları Hint kökenlidir ancak o dönemde Arabistan üzerinden Avrupa'ya iletilmiş ve bazı geçişlerden sonra bugünkü halini almıştır.

Ortaçağdan erken modern matematiğe

Batı'da 5. yüzyıldan 15. yüzyıla kadar Orta Çağ'da Hıristiyanlığın etkisi güçlüydü, ancak savaş sürekliydi ve bilim neredeyse sadece manastırda tutuldu. 12. yüzyıldan sonra, üniversiteler çoğunlukla teoloji ve skolastisizm okudukları Bologna, Paris vb. Doğa bilimlerinde Aristoteles'in kitapları ve Öklid'in ilk bölümü öğrenildi. Bu arada bazen sonsuzluk düşünüldü ve İngiltere'den R. Bacon, matematiğin önemli bir disiplin olduğunu ve doğa bilimlerinin çalışmasında deneylerin önemli olduğunu açıkladı. Lisieux piskoposu Nicole Oresme'nin sıcaklıktaki değişimleri grafik haline getirmesi ve kesirli bir indeks ortaya koyması, o sıralarda çığır açan bir fikirdi. Logaritma 16. yüzyılın ortalarında İngiltere'den J. Napier ve Henry Briggs (1556-1631) tarafından keşfedildi.

13. yüzyılda İtalya'da rönesans ivmesi Dante ve diğerleri tarafından kuruldu ve sanatsal rönesans 15. ve 16. yüzyıllarda zirveye ulaştı. 14. yüzyıldan beri, Orta Çağ'ın sonunu işaret ettiği söylenen deniz pusulaları, barut ve baskı tekniklerinin icatları olmuştur ve Kolomb, 15. yüzyılın sonunda Yeni Dünya'yı keşfetmiştir. Madencilik, dokumacılık gibi üretim araçlarının içine makineler sokulmaktadır. Leonardo da Vinci resim, heykel ve mimari gibi tüm alanlarda bir dahidir ve perspektif, havacılık ve anatomi gibi bilim ve teknolojide öncü fikirler gösterir. M. Luther 1517'de dini reforma başladı. 1943, N. Copernicus'un "Gökyüzünün Devrimi Üzerine" ve A. Vesalius'un "İnsan Vücudunun Yapısı"nın ilan edildiği yıldı. Sırasıyla modern astronomi ve anatominin başlangıç noktalarıydılar, ancak ilki özellikle matematikle ilgili.

Antik Yunanistan'da yıldızların hareketini açıklamak için yer merkezli ve güneş merkezli teoriler vardı. Her iki durumda da, Pisagor okulunun dediği gibi, gök küresi sabit bir hızla döner, ancak ilkinde, dönme merkezi dünyadır ve güneş onun etrafında hareket ederken, ikincisinde dünya güneşi merkez alır. . Hareket etmesi gerekiyor. İlki, Aristoteles'in iddia ettiği gibi, Ptolemy'nin gezegen hareketinin oldukça kesin bir tanımını da içeriyordu. Hıristiyanlığın insanlık görüşüyle uyumluydu ve Orta Çağ boyunca bir otorite olarak kabul edildi, ancak MÖ 3. yüzyılda Samoslu Aristarchus zaten güneş merkezli teoriyi benimsemişti. Copernicus Polonya'da doğdu ve bir İtalyan üniversitesinde teoloji, tıp, matematik, astronomi vb. okudu ve o sırada muhtemelen güneş merkezli teoriyi duymuştu. Memleketine döndükten ve rahipliğe başladıktan ve tıbbi bakıma girdikten sonra, astronomi ile derinden ilgilenmeye başladı ve Batlamyus'un tanımını güneş merkezli teoriye göre yeniden yazmayı daha kolay buldu. Copernicus, zamanın otoritesine aykırı olduğu için bunu duyurmak istemedi, ancak başkaları tarafından yazılması tavsiye edilen, ölümüyle aynı yıl yayınlanan yukarıda belirtilen kitaptı. pirinç tarlası.

Kitap ayrıca Copernicus'un kendi gözlemlerinin sonuçlarını da içeriyor, ancak sayı az. Daha çok bir teorisyendi, ancak Danimarkalı astronom T. Brae iyi bir deneyciydi. Zamanının en hassas astronomik gözlemlerini yapmaya devam etti ve sonuçları kaydetti. "Dünyanın Uyumu"na (1619) büyük bir inancı olan J. Kepler, Brahe'nin gözlemlerini güneş merkezli teoriye dayanarak analiz etti ve Kepler'in üç yasasını elde etti. Birinci ve ikinci yasa (1609), gezegenin sabit bir alan hızında bir odak noktası olarak güneş ile eliptik bir yörüngede hareket etmesidir ve üçüncü yasa (1619) gezegenin yörünge periyodunun 2'sidir. Güç, yörüngenin ana ekseninin uzunluğunun küpü ile orantılıdır. Burada görülen elipsin hesaplanmasında Apollonius'un konik kesit teorisi kullanılmaktadır. Bu teori, doğal fenomenleri aydınlatmak için yararlı olacağı düşünülmeden geometrik olarak yapılmış, ancak bin ve birkaç yüz yıl sonra bu şekilde etkin bir şekilde kullanılmıştır.

G. Galilei'nin Copernicus ve Kepler'in güneş merkezli teorisini güçlü bir şekilde desteklediği ve Engizisyona sevk edildiği biliniyor. Doğa bilimlerinin otoriteye değil, deney ve matematiğe dayanması gerektiğini savundu. Daha sonraki kitabı The New Science Lecture (1638), yeni mekaniğin temelini oluşturduğu için özellikle önemlidir. Kep1er ve Galilei sadece 17. yüzyılda aktifti. Bu yüzyıl, "Kahramanlar Yüzyılı" olarak da bilinen matematik tarihinde dikkate değer bir dönemdir.

17.-18. yüzyıl matematiği

Daha önce, 16. yüzyılda İtalya'da cebirin kübik ve kuartik cebir denklemlerini çözmede ilerlediğinden bahsetmiştim, ancak onu daha da geliştiren ve yeni bir cebir çağının temelini atan Fransa'ydı. F. Viet'ti. Cebirsel sembolleri, özellikle bilinenleri destekledi ve genellikle dördüncü mertebeye kadar cebirsel denklemlerin nasıl çözüleceğini anlattı. Cebirsel hesaplamalarla matematiksel teorinin inşası oradan başladı. P.de Fermat, Diophantus sayı teorisini geliştirmek, eğrilerin teğetlerini bulmak, en küçük ve en büyük problemlerle uğraşmak ve bunları optiğe uygulamak için cebirsel yöntemler kullandı. B. Pascal ile yaptığı gidiş-dönüş mektubunda olasılık teorisine öncülük eden konuları tartıştı. Konik bölüm teorisi, hidrostatik ve sikloidlerle ilgili kareleme problemlerindeki başarılarına ek olarak, Pascal matematiksel tümevarım konusundaki farkındalığıyla da dikkat çekicidir. Pascal, daha sonraki yıllarda geride bıraktığı dini parçalanmalarıyla da tanınan bir düşünürdü.

Ancak bu yüzyılın matematik ve bilim tarihindeki en büyük şahsiyetler R. Descartes, I. Newton ve GW Leibniz olmalıdır.

Descartes, modern rasyonalizmin temellerini atan bir filozoftur. "Geometri"yi, "Yöntemlere Giriş" (1637) adlı ana kitabının eklerinden biri olarak yazdı ve günümüz dilinde bir düzlemde koordinatları kullanarak cebirsel eğrilerle uğraşmanın yararlılığını vurguladı. Bu yöntem esasen Apollonios'un konik kesitler için kullandığı yöntemdi, ancak sayıları ve uzayı Yunan geometrisi ve Viet cebiri ile birleştirme fikrini dile getirdi. O zamandan beri matematik üzerinde büyük bir etkisi oldu.

Newton, kısmen optiğe yaptığı önemli katkılardan dolayı kimya ve teoloji ile de derinden ilgilendi. Prensip 》 (1687), bundan sonra bilimsel doğa görüşünün temeli olan Newton mekaniğini geliştirmek önemlidir. Aristoteles, kuvveti olmayan cismin hareketsiz olduğunu, ancak aslında sabit bir hızla hareket etmeye devam ettiğini ve kuvvetin ivme verdiğini bulan Galilei olduğunu söyledi. Galilei düşen cismin hareketini dünyadaki cisme belirli bir yerçekiminin etki etmesi gerçeğiyle açıkladı, ancak Newton gezegenin hareketini evrensel yerçekimi yasasıyla açıkladı ve Kepler'in üç yasası matematiksel olarak kanıtlandı. Bunu gösterdi. İvme, bir cismin konumunu zamanın bir fonksiyonu olarak ifade eden bir vektörün ikinci dereceden türevi olarak ifade edilir ve bu, günümüz dilinde ikinci dereceden bir diferansiyel denklemin integralinin alınmasına eşdeğerdir. Böyle bir ifadenin mümkün olabilmesi ve problemin çözülebilmesi için öncelikle bir kalkülüs yönteminin oluşturulması gerekir. Newton bunu aynı anda yaptı.

Leibniz, teoloji, felsefe, matematik, tarih gibi her türlü çalışmaya katkı sağlamış, diplomat olarak da siyasi faaliyetlerde bulunmuş bir kişidir. Matematikte, özellikle işaretlerin önemini vurguladı, Newton ile yaklaşık aynı zamanda kalkülüs yöntemini keşfetti ve uygun bir gösterim getirdi. Bugün hala kullanılan diferansiyel sembolü d / dx ve integral sembolü ∫ ona borçludur. Aynı zamanda, kelime işlevini bugün olduğu gibi kullanmaya başlayan da oydu.

Yunanistan'dan beri geometriye ek olarak kolların işlevleri, Hint-Arap sisteminin cebiri analiz 17. yüzyılın ikinci yarısında doğdu. Önümüzdeki yüzyılda araştırmalar sorunsuz ilerleyecek ve doğa bilimlerinin çeşitli alanlarında yaygın olarak uygulanacaktır.

18. yüzyılın başında Newton ve Leibniz de etkindi. Leibniz'in uygun sembolik hesap yöntemi, Bernoulli kardeşlerin işbirliğiyle geometri, mekanik veya olasılık teorisinin birçok problemine uygulandı ve onları takip eden L. Euler tarafından daha da geliştirildi. Euler, tüm zamanların en üretken matematikçilerinden biriydi ve özellikle cebirsel hesaplamalarda ustaydı. Sayılar teorisi, geometri ve mekaniğin her alanında faaliyet göstermiş, analitik geometri ve analitik mekaniği günümüz ders kitaplarında bulunana benzer bir biçimde düzenlemiştir. Kitaplarından birinin adı "Introduction to Infinite Analysis" (1748). Bu kitapta, terim olarak karmaşık sayılarla sonsuz seriler de kullanılmış ve üstel fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki açıklığa kavuşturulmuştur.

Bernoulli ailesi gibi L. Euler de Basel, İsviçre'de doğdu, ancak hayatını, Kaimei'nin prensleri olduğu söylenen Almanya Büyük Frederick ve Rusya İmparatoriçesi Ekacherina'nın himayesinde Berlin ve Petersburg'daki Akademi'de yaşadı. o zaman. .. Bu insanların matematiksel katkıları bilim ve teknolojiyi ilerletmiş, üretim araçlarının gelişimi dikkat çekici hale gelmiş ve insanlar akla güvenmeye başlamışlardır. 18. yüzyıla "Işık Yüzyılı" da denir. Fransa'da bir kılıç olan XIV.Louis dönemi kapandıktan sonra J. Dalambert ve diğerlerinin önderlik ettiği ansiklopedik okul aktif rol oynadı ve sonunda 1789 Fransız Devrimi'ne ulaşıldı.

PS Laplace, kraliyet hükümetinin sonundan devrimci döneme, Napolyon dönemine ve Restorasyon dönemine kadar her zaman yüksek bir konumda olmasına rağmen, 18. yüzyıl analizinin zirvesinde yer alan ve siyasi disiplinden yoksun bir matematikçiydi. Beş cilt, Gök Mekaniği (1799-1825) ve Analitik Olasılık Teorisi (1812) bıraktı. İlki, potansiyel teori dahil olmak üzere Newton, Euler ve diğerleri. Ayrıca her iki kitabın da içeriğini matematiksel formüller kullanmadan açıklayan bir aydınlanma kitabı vardır. Dünyadaki her şeyin matematiksel analizle mekanik olarak belirlenmesi gerektiği fikrine olan derin güveni ifade eder.

19. yüzyıldan beri matematik

JL Lagrange, Analitik Mekanik (1788) ve Analitik Fonksiyon Teorisi (1797) gibi kitaplarıyla tanınan Laplace ile aynı yaştaki bir matematikçiydi, ancak 18. yüzyılın sonunda artık matematik için gerekli değildi. Sanki böyle bir ilerleme yok gibiydi. Ancak yüzyılın başından itibaren matematikte tamamen yeni bir eğilim ortaya çıkmaya başladı. Biri eleştirel bir ruhtur, diğeri ise saf matematiğe yönelimdir. Sosyal olarak Sanayi Devrimi kurulmuş ve kapitalist toplum gelmiştir ve Fransa'da birçok siyasi değişiklik olmasına rağmen Fransız Devrimi sırasında Ecole Polytechnik ve Ecole Normal Superior gibi okullar ve Almanya kurulmuştur. Getingen'de ve başka yerlerde bir üniversitenin kurulabilmesinden etkilenmiş olabilir.

Otorite eleştirisinin ruhu Galilei ve diğerlerinde görülebilir. 17. yüzyılda ancak 17. ve 18. yüzyıllarda yapılan analizler temel mantığa geldiğinde kafa karıştırıcıydı. Newton'un Principia'sı, Öklid'in Stoicia'sı biçiminde yazılmış olsa da, Yunan titizliğinden hiç yoksundu. Aynı dönemin insanları tarafından eleştirilmiş, ancak birçok pratik probleme analiz yapılırken ve muhteşem sonuçlar elde edilirken temellerin incelenmesi unutulmuş gibi görünüyor. Euler ve Laplace bazen sonsuz serilerin yakınsaklığını ve ıraksaklığını doğrulamadan toplam hakkında konuştular. AL Cauchy, 19. yüzyılın başlarında Academy de Cyance'da, bugünün bakış açısıyla "yakınsamayan sonsuz bir serinin toplamı yoktur" dediğinde Laplace'ın şok olduğu söylenir. Fonksiyonların sürekliliği, türevlenebilirliği, integrallenebilirliği gibi tanımlar ancak 19. yüzyıla kadar verilmemiştir.

Bu titizlik arayışı, bu dönemin eleştirisinin bir tezahürüdür, ancak aynı zamanda, doğrudan uygulamaya yol açmadığı için saf matematiğe yönelimin bir yönü olarak da görülür. 18. yüzyılda hemen hemen tüm matematikçiler uygulamaya dahil olmuş ve matematiğin faydacı görüşleri egemen olsa da 19. yüzyılda "Yunanistan'a dönüş" ivmesi görülmeye başlanmıştır.

CF Gauss, iki yüzyıl arasındaki sınırda duran bir matematikçidir. Göttingen Üniversitesi'nin astronomik direktörü oldu, bizzat gözlem yaptı ve astronomi, jeodezi ve elektromanyetik gibi matematiğin uygulanmasında dikkate değer başarılar elde etti. Aynı zamanda, temelin atılması ve kavisli yüzeyler teorisi ile potansiyel teorisinin geliştirilmesi gibi saf matematiğin yeni yönlerini de açtı. Matematikçi olmaya 19 yaşında cetvel ve pusula ile düzgün bir yedigen çizilebileceğini keşfettiğinde karar verdiği söylenir. Diophantus ve Fermat'tan bu yana sayı teorisi, "Sayı Teorisi Çalışması" (1801) tarafından işaretlendi. Sayı teorisi, Gauss'un Matematiğin Kraliçesi olarak adlandırdığı saf matematiğin bir alanıdır.

GFB Lehman, 19. yüzyılın ilk yarısından ortalarına kadar en önemli matematikçiydi. Elektromanyetik ve termal iletim teorisi gibi teorik fiziğe katkıda bulunmasına rağmen, karmaşık değişken analizi fonksiyon teorisinin, özellikle cebirsel fonksiyon teorisinin temellerini atmış, integral teorisi ve üçgen sayılar teorisine önemli katkılarda bulunmuştur. Sayı teorisinde bir gizem olan sayı dağılımı sorunuyla başa çıkmak için, zeta fonksiyonunu karmaşık değişkenlerin bir fonksiyonu olarak düşünmek için yeni bir yöntem yarattık. Bu şekilde, saf matematiğin birçok alanına yaratıcı katkılarda bulundu, ancak 1854'te Göttingen Üniversitesi'ndeki açılış dersi olan "Geometrinin Altındaki Hipotez Üzerine" özellikle önemlidir.

Bundan önce Gauss, << Yüzey Teorisi >> (1827) adlı eserinde, yeterince düzgün kavisli bir yüzeyin izometrik dönüşümüyle (uzunluğu değiştirmeyen dönüşüm) değişmeyen özelliği ve özellikle toplam eğriliği tartıştı. eğri yüzeydeki her nokta o özelliktir. Olduğu gösterildi. Ayrıca, böyle bir eğri yüzey üzerine kenarı jeodezik olan bir çokgen çizilirse, dış açıların toplamı, içindeki noktalardaki toplam eğriliğin integralidir (Şek.). 2 Örneğinde, α 1 + …… + α 5 ) ile 4 dik açı arasındaki farkla orantılı olduğu kanıtlanmıştır. Bir düzlemdeki üçgenlerin iç açılarının toplamının iki dik açı olması, küresel üçgenlerin iç açılarının toplamının iki dik açıdan büyük olması ve aralarındaki farkın iki dik açı (aşırı küresel yüzey) olması küresel üçgenin alanıyla orantılıdır. Özel durum olarak kabul edilir. Lehman, fikri iki boyutlu kavisli bir yüzey durumundan n -boyutlu hale getirdi. manifold durumunda genişletilmiştir. Böylece Riemann manifoldu tanımlanmış ve çeşitli geometrilerin oluşturulabileceği gösterilmiştir.

Öklid'in Stoikeia'sında geliştirilen geometri, Orta Çağ boyunca ve hatta Kant'ın felsefesinde a priori olarak geçerliydi, ancak 19. yüzyılda da eleştiri konusu oldu. .. "Stoikeia" da paralel doğrular aksiyomu karmaşık bir biçimde ifade edilmiş ve öyle görünüyor ki onu mümkün olduğu kadar kullanmaktan kaçınmış, bu yüzden onu başka bir önerme ile değiştirmeye çalışmış ve onu diğer önermelerden türetmeye çalışmıştır. "Stoikeia". Uzun süredir yapılıyor. Ancak hiç kimse bu aksiyomun doğru olduğundan şüphe etmedi. Eleştirilerin yüksek olduğu bir çağda, eğri yüzeylerin geometrisini düşünürken Gauss veya fenomen uzayında, bir doğrunun dışında bir noktadan geçen ve ona paralel olan tek bir doğru olmayabilir. Acaba böyle mi diye merak ettim ve bu varsayıma dayanarak geometri çalışmaya başladım. Dünyanın anlaşılmamasından korktuğu için yayınlamadı, ancak çağdaş Boyai J. ve NI Lobachevsky çalışmayı yayınladı. Yukarıdaki varsayım altında, bir üçgenin açılarının toplamı iki dik açıdan daha küçüktür, ancak küresel geometriye birçok benzerliği olan bir geometrinin oluşturulduğu gösterilmiştir.Paralel postulatı reddeden bir önermeyi kabul eden geometriye Öklid dışı geometri, "Stoikeia"da görülen geometriye Öklid geometrisi denir. Gauss'un kendisi aslında büyük bir üçgeni ölçtü ve iç açılarının toplamı ile iki dik açı arasındaki farkı araştırdı, ancak hata payı içindeydi ve fenomen uzayında hangi geometrinin tutulduğu sonucuna varmak mümkün değildi. .. Her halükarda, Öklid dışı geometrinin Öklid geometrisi ile aynı şekilde geçerli olduğu gerçeği, aksiyomların gerçek olduğu fikrini alt üst eder. Tabii ki, paralel postulat E ve onu inkar eden Ē bağdaşmaz. Eğer gerçek, fenomen uzayında geçerliyse, gözlem yoluyla hangisinin doğru olduğunu teyit etmeliyiz. Gözlem yoluyla hangi sonuçların çıkarılabileceği, geometrinin doğasında bulunan mantıkla hiçbir ilgisi yoktur. A, paralel çizgiler aksiyomunu dışlayan Öklid geometrisinin aksiyomu ise, her iki geometrinin de geçerli olduğu gerçeği, ne A ve E ne de A ve Ē'nin çelişki içermemesidir. anlamına geliyor. Bunun anlamını açıklığa kavuşturmak için 19. yüzyıl matematikçilerini de beklemek zorunda kalan yukarıdaki A'nın içeriğini netleştirmemiz gerekiyordu. Bunun nedeni, Euclid'in Stoicia'sının birçok mantıksal kusur içermesi ve bu noktanın netleştirilmemiş olmasıdır. D. Hilbert'in The Foundations of Geometry (1899) adlı eseri, Öklid geometrisinin aksiyomlarını tamamen beş gruba ayırdı ve aralarındaki mantıksal ilişkileri araştırdı. Stoikeia ilk defa amaçlandığı gibi hazırlanmış ve belirtilen varsayımlardan katı mantıkla inşa edilmiş bir sistem olarak yeniden üretilmiştir.

Böyle bir sistemin tutunabilmesi için öncelikle tutarlı olması gerekir. Hem Öklid geometrisi hem de Öklid olmayan geometrinin geçerli olması, (A, E) ve (A, Ē)'nin tutarlı olduğu anlamına gelir. (A, Ē)'nin tutarlılığı, A. Cary, F. Klein, H. Poincaré ve diğerleri tarafından gösterildiği için doğrulandı. Modelin (A, E) içinde oluşturulduğunu. Hilbert ayrıca (A, E) önermelerinin geçerli olduğu bir model oluşturmak için gerçek sayıları kullandı ve (A, E)'nin tutarlılığını gösterdi. Gerçek sayılar teorisi, Stoikeia'nın 5. Cildinde zaten anlatılmıştı, ancak onu tamamlayan 19. yüzyıl matematikçileri K. Wirestrass, R. Dedekind ve G. Cantor'un eseriydi. Gerçek sayılar teorisi onlar tarafından doğal sayılar teorisine indirgendi, ancak Dedekind ve G. Peano, kümeler ve haritalar fikrini kullanarak doğal sayılar teorisini aksiyomsal olarak kurdular. Küme teorileri genel olarak ilk olarak Cantor tarafından ele alındı, ancak çok saf bir şekilde ele alınırlarsa çelişkilerin ortaya çıkacağı ve E. Zermelo ve A. Frenkel'in onlardan kaçınmak için aksiyomlar oluşturduğu gösterildi. Buna dayanarak küme teorisini geliştirdi.

1900 yılında Paris'teki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde Hilbert, bu yüzyılın araştırmasının konusu olması gereken 23 matematik problemini gündeme getirdi; bunlardan biri aritmetiğin tutarlılığını göstermekti (yani, doğal sayılar teorisi). pirinç tarlası. O matematiğin temelleri Amaç, küme teorisinden başlayarak tüm matematiğin tutarlılığını göstermekti. Bugün henüz tatmin edici bir çözüme ulaşamamış olsa da, alan onunla bağlantılı olarak çeşitli yönlerde ilerlemiştir.

Nasıl Gauss 18. ve 19. yüzyıllar arasındaki sınırda duruyorsa, Hilbert de 19. ve 20. yüzyıllar arasında bir matematikçiydi. Bu maddede matematiğin karakterini açıklığa kavuşturmak için acele ettiğim için, tartışma birçok matematikçinin 19. yüzyıldaki başarılarına değinmeden 20. yüzyılın başlarına kadar ilerledi. Zaman ilerledikçe, matematiğin ilerlemesi hızlandı ve 1950 ile bugün arasında yaklaşık 30 yıl boyunca yayınlanan matematiksel makalelerin miktarı, Yunan döneminden yaklaşık 1950'ye kadar yayınlanan matematiksel başarıların toplam miktarıdır. . Bu nedenle, 19. yüzyıldan sonraki açıklama basitleştirilmeli, ancak cebir ve analiz ile ilgili bir veya iki şeyi tamamlayalım.

Cebirde, dördüncü mertebeye kadar cebirsel denklemler, 16. yüzyılda İtalya'da kuartik denklemlerde çözüldü, ancak birçok matematikçinin beşinci ve daha yüksek mertebeler için benzer çözümler elde etme girişimleri boşuna. yaptı. NH Abel 1826'da bunun imkansız olduğunu kanıtladı ve É. Galois, bu problem ile denklemin köklerinin permütasyon grubu arasındaki bağlantıyı buldu ve "Galois teorisi" denilen şeyi kurdu. O zamandan beri, soyut cebirin ilk bölümü olarak grup teorisi ortaya çıktı. Müteakip cebir sadece cebirsel bir teknik değil, cebirsel sistemleri, yani basit aksiyomlarla tanımlanan algoritmalara sahip kümelerin yapısını inceleyen bir alandır. Grubun ardından halkalar ve alanlar gibi cebirsel sistemler araştırma konusu olmuştur.

Analiz alanında, yukarıda açıklandığı gibi temel kavramın oluşturulması bu dönemin karakteristik bir başarısıdır, ancak aynı zamanda 18. yüzyıldan bu yana klasik analizin ilerlemesi de vardır. JBJ Fourier, ısı iletimi teorisi ile ilgiliydi ve Fourier serisini tanıttı, ancak bu serinin hangi fonksiyonu temsil ettiği sorusu, fonksiyon kavramı üzerinde ciddi bir düşünceye yol açtı. Bu, uygulamalı matematik problemlerinden saf matematiğin temel gelişimine iyi bir örnektir. Eliptik fonksiyon teorisi ilk olarak klasik bir problem olarak ele alındı ve 19. yüzyılın sonunda tek değişkenli karmaşık değişkenlerin analitik fonksiyon teorisi tamamlandı. Gauss da bu yönde bir öncüdür ve Abel, CG Jacobi, Cauchy, Wirestrass, Lehman ve diğerlerinin katkıları önemlidir. Bunu çok değişkenli duruma genişletmek 20. yüzyılda tanıtıldı. Çok değişkenli cebirsel fonksiyon teorisinin geometrik bir temsili olarak görülüyor cebirsel geometri 19. yüzyılın ikinci yarısında İtalya'da aktif olarak çalışıldı, ancak titizlikten yoksundu. Bunun üzerine inşa etmek de 20. yüzyıl için bir sorundu. Diferansiyel denklemler, 17. yüzyıldan beri uygulamalı matematiğin öncüleri olmuştur ve Euler ve ark. Ayrıca bazı PDE türlerini de çözdü, ancak 19. yüzyılda Cauchy ve ark. Teori ele alınmaya başlandı. S. Kovalevskaya'nın ikincisi hakkındaki "Temel Teoremi" 1875'te yayınlandı.

modern matematik

20. yüzyılın başında, matematiğin doğası neredeyse açıktı ve ilerlemesi hızlandı. Müteakip ifadeler daha genel tutulmalıdır, ancak burada Hilbert'in 1900 sayısı ve başarılarının kısa bir tartışması var.

Hilbert'in problemleri arasında, küme teorisi problemleri (sürekli problemler olarak adlandırılır) ve yukarıda bahsedilen matematik problemlerinin temelleri de vardır. Her fizik bölümünün aksiyomizasyonu gibi bazıları belirsiz bir şekilde ifade edilmiştir ve bunların ne kadar çözüldüğünü açıkça belirtmek mümkün değildir. Ancak tüm problemler matematikçilerin ilgisiyle coşkuyla çalışıldı. Bunların yaklaşık yarısı zaten çözüldü ve akademide her seferinde sıcak bir konu haline geldi. Birçok Japon matematikçi doğrudan ve dolaylı olarak çözüme katkıda bulunur. Özellikle sayılar teorisi ile ilgili iki şey Teiji Takagi (1920) tarafından önerilen sınıf alanı teorisi ile çözülmüştür.

Hilbert cebirde değişmez teoriyi incelemekle başladı, ardından geometrinin temellerine, ardından sayılar teorisine, integral denklem teorisine, potansiyel teorisine vb. geçti ve daha sonraki yıllarda kendini matematiğin temellerine adadı. İntegral denklemler teorisi ile bağlantılı olarak Hilbert uzay teorisini kurdu. Öklid uzayının sonsuz boyutlara bir uzantısıdır ve çeşitli analiz alanlarına uygulanır.

1920'lerde Avrupa iki savaş sırasında politik olarak istikrarsızdı, ancak Weimar hükümeti altındaki Almanya'daki Göttingen Üniversitesi'nde E. Nater, Hilbert ile birlikte soyut cebir çalışmasında aktifti. Merkez haline geldi. Aynı zamanda S. Banach ve ark. Polonya'da ve faz matematiği (topoloji) aktif olarak çalışıldı. Banach, Hilbert uzayının bir uzantısı olan Banach uzayının lineer operatör teorisini analiz problemlerine uyguladı. Topolojik matematik ve cebir kullanarak analiz çalışma yöntemi o zamanlar Japonya'da "topolojik analiz" olarak adlandırıldı, ancak daha sonra dünya çapında kullanılan terime göre "fonksiyonel analiz" olarak adlandırıldı. pirinç tarlası.

1930'lardan itibaren bir grup Fransız matematikçi olan Bourbaki, The Principles of Mathematics'i yazmaya başladı. Küme teorisinden başlayarak, cebir ve topolojiye dayalı tüm matematiği aksiyomsal olarak tanımlamaya çalışır, tabiri caizse, Öklid'in Stoicia'sının modern bir versiyonu. Bugün tamamlanmadı, ancak temelleri tamamlandı ve mevcut matematiksel tanımlayıcı form neredeyse bu tarzda birleştirildi. Bu yöntemle, bugün matematik, 18. ve 19. yüzyıllardan beri kalan klasik ve ortaya çıkan problemleri ele alarak yeni alanlara ilerliyor.

20. yüzyılın ikinci yarısındaki gelişmede özellikle dikkat çekici olan, manifoldların incelenmesidir. 1913'te H. Weil, Lehman düzlemini incelerken kesinlikle tek boyutlu bir karmaşık analiz manifoldu tanımladı, ancak diferansiyel yapıya, analiz yapısına vb. sahip çok boyutlu bir gerçek veya karmaşık manifold tanımından ilham aldı. zengin içeriklerle geliştirilmiştir. Bu bakış açısından, diferansiyel geometri, Lee grup teorisi ve diferansiyel form teorisi yeniden yazıldı ve bu alan büyük adımlar atıyor. Bununla birlikte diferansiyel denklem teorisi, dinamik sistem teorisi ve diferansiyel geometri arasındaki karşılıklı bağlantı derinleşiyor.

Fonksiyonel analiz, 20. yüzyılın ilk yarısında ağırlıklı olarak doğrusal problemlere yönelikti, ancak günümüzde doğrusal olmayan problemler üzerine araştırmalar aktiftir ve varyasyonel yöntemler ve olasılık teorisi de çerçeveye dahil edilmiştir. Fonksiyonel konseptin L. Schwartz ve Mikio Sato tarafından genişletilmesinin de önemli bir etkisi oldu. A. Robinson'ın matematiğin temellerinden tamamen farklı bir bakış açısıyla, analizin limit işlemlerine dayanmadan geliştirilebileceğini göstermek için gerçek sayılar kavramını genişlettiği de kaydedildi. Bu yöntemle yapılan analize Japonya'da standart olmayan analiz denir.

18. yüzyıla kadar matematik ve doğa bilimleri arasındaki ilişkiye değindi, ancak 19. yüzyıldan sonra asıl amaç pür matematiğin karakterini netleştirmek oldu, bu nedenle diğer alanlarla ilişkisi zayıfladı. Aşağıda ekleyeceğim. Yukarıda bahsedildiği gibi matematik alanı, bir aksiyom olarak belirtilen öncülden yola çıkarak katı mantıktan oluşan bir sistemdir ve her şeyden önce tutarlı olması gerekir. Bununla birlikte, araştırmanın akademinin ilgisini çekmesi ve ilerlemesi için, yalnızca aksiyomatik sistem tutarlı olmakla kalmaz, aynı zamanda sistemin gelişimi estetik takdire değerdir ve sonuçlar bir anlamda faydalıdır. Beklenecek. Öklid geometrisi, karmaşık değişken analitik fonksiyon teorisi veya grup teorisi bu beklentiyi karşıladı. "Yararlı" mutlaka pratik anlamına gelmez, ancak Fourier serisi teorisi gibi diğer alanlara uygulanmasının farkındalığıyla oluşturulan bir teori, saf teoriyi teşvik edebilir ve beklenmedik bir şekilde gelişebilir. , Tamamen güzel bir sistem olarak tasarlanan sistem daha sonra önemli uygulamalar bulabilir. Daha önce Kepler için konik kesit teorisinin kullanıldığından bahsetmiştim, ancak Riemann geometrisi ve Hilbert uzay teorisi sırasıyla genel görelilik ve kuantum teorisini tanımlamak için ancak 20. yüzyılda kullanıldı. olmak.

Saf bir mantıksal sistem olarak matematik teorisi her şeye uygulanabilir, bu nedenle uygulama alanı daha da genişlemiştir. Deneysel tasarımların tasarımında grup teorisi ve soyut cebirin alan teorisi kullanılmaktadır. Olasılık teorisi, çıkarım geliştirmek için istatistiklerle bağlantılıdır ve ayrıca kalite kontrole de uygulanır. Matematiğin temelleri yöntemi, bilgisayar yazılımı tasarlamak için kullanılır. Sadece doğa bilimleri değil, aynı zamanda beşeri bilimler ve sosyal bilimlerle olan ilişkiler de 20. yüzyılda matematik daha da genişliyor ve derinleşiyor. Diğer bilimler gibi matematiğin de daha uzmanlaştığı doğrudur, ancak toplumla dayanışma derinleşiyor ve büyümeye devam etmesi bekleniyor.
Shokichi Iyanaga + Kiyoshi Ito

Sayıları ve rakamları inceleyen akademisyenler için genel bir terim. İlköğretim matematiği olarak aritmetik , Cebir (esas olarak Hindistan, Arapça olarak gelişmiştir), geometriden sonra (Öklid Yunanca'nın doruk noktasıdır), Leibniz Modern matematiği tarafından geliştirilen 17. yüzyıl Descartes, Newton, Newton tarafından ilkel bir tam, analitik geometri görmüştü. başlangıç. Calculus ile başlayan fonksiyonların çalışmaları fiziğe ve başkalarına uygulama ile ilişkilidir, hızla genişler ve analitik olarak adlandırılırlar. Euclidean olmayan geometrinin kurucusu ile aksiyomların doğasına dair yansıma, 19. yüzyıla eklenir, aksiyom doktrinlerinin bakış açısı, aksiyomların matematiğini yorumladı ve <teori> nin bir varsayımı olarak varsayıldı. Modern matematikte, teoriye dayanan soyut cebir matematiği ve evre matematiği ana bölümlerdir, konu sayılar ve şekillerle sınırlı olmamak kaydıyla içerik olarak herhangi bir şey olabilir ve uygulama alanı diğer doğadır. Sadece bilim alanlarında giderek yayılmamaktadır. aynı zamanda bilgi bilimi ve sosyal bilimde.
→ İlgili topoloji topolojisi | fonksiyon teorisi | aritmetik