geometri(uçak geometrisi, Katı geometri)

english geometry

özet

  • Noktaların ve çizgilerin ve eğrilerin ve yüzeylerin saf matematiği

genel bakış

Geometri (Eski Yunancadan: γεωμετρία ; geo- "toprak", " metron " ölçümü ") şekil, boyut, figürlerin göreceli konumu ve mekanın özellikleri ile ilgili bir matematik dalıdır. Geometri alanında çalışan bir matematikçi, bir geometri olarak adlandırılır.
Geometri, uzunluk, alan ve hacimleri ele almak için pratik bir yol olarak bir dizi erken kültürde bağımsız olarak ortaya çıktı. Geometri, Batı'da ortaya çıkan resmi matematik biliminin unsurlarını MÖ 6. yüzyıla kadar erken bir zamanda görmeye başladı. M.Ö. 3. yüzyılda, geometri Euclid'in Euclid'in Elementi unsurları tarafından takip edilen yüzlerce yıl boyunca bir standart belirleyen bir aksiyomatik forma sokulmuştur. Geometri Hindistan'da bağımsız olarak ortaya çıktı. Metinler, MÖ 3. yüzyılın başlarında ortaya çıkan geometrik yapılar için kurallar sağlıyordu. İslam bilimcileri Yunan fikirlerini korumuş ve Orta Çağlar boyunca onlara genişlemişlerdir. 17. yüzyılın başlarında, geometri René Descartes ve Pierre de Fermat gibi matematikçiler tarafından sağlam bir analitik zemine oturtulmuştu. O zamandan beri ve modern zamanlara kadar, geometri, insan deneyiminin normal sınırlarının ötesindeki boşlukları tanımlayan, Öklit olmayan geometri ve manifoldlara genişlemiştir.
Geometri yıllar boyunca önemli ölçüde gelişirken, geometri için az ya da çok temel olan bazı genel kavramlar vardır. Bunlar, noktaların, çizgilerin, düzlemlerin, yüzeylerin, açıların ve eğrilerin kavramlarını ve ayrıca manifoldlar ve topoloji veya metriğin daha gelişmiş kavramlarını içerir.
Geometri, sanat, mimarlık, fizik ve matematiğin diğer dallarını da içeren birçok alana sahiptir.

Genel olarak geometrinin figürlerle ilgili matematik olduğu, ancak nesnelerin, içeriğin ve geometri yöntemlerinin zamanla önemli ölçüde değiştiği ve aralığın büyük ölçüde genişlediği ve şimdi geometrinin hepsini içerdiği açıklanır. Geometri tanımlanamaz. Bununla birlikte, geometri adı verilen matematikte, genellikle şekillerin sezgilerine veya benzerliklerine bağlı olarak incelenir. Geometri, "araziyi ölçmek" anlamına gelen Yunanca geōmetria kelimesinden türetilmiştir ve geometri, Çince'de nicel bir soru anlamına gelen ve Çin'den gelen geleneksel bir kelime olan sorgulayıcı bir kelimedir. Aşağıda, tarihsel geçişi izlerken çeşitli geometrilere bir göz atalım.

Yunan geometrisi

Geometrinin etimolojisinin gösterdiği gibi, geometri yüzey araştırmasından gelişmiştir. Yani, eski Mısır'da, Milet Thales ve Pisagor tarafından Yunanistan'da da toplanan figürler hakkında bilgi biriktiren Nil'in kılıçları tarafından tahrip edilen toprakların sınırlarını yeniden üretmek için anket teknikleri geliştirildi. Boğuldu, rasyonel olarak incelendi ve geometriye dönüştürüldü. Thales, üçgenlerin iki açı ve köşeleri sıkıştırılmış olarak belirlendiği gerçeği kullanılarak dolaylı ölçümün yapıldığını bilir ve üç kare teoremini kanıtladığı söylenen Pisagor okulunda şekillerin bilgisi ispatlara dayanır. Yapıldı. İspat metotları ve mantığı, Platon ve okulu tarafından derinlemesine düşünülerek daha da geliştirildi ve tanımlar, postülatlar ve aksiyomların fikirleri geliştirildi. Platon'un okul akademisinin girişinde yazdığı efsane, "Geometri bilmeyen kimsenin girmesine izin verilmez", geometriyi ne kadar vurguladığını anlatır. Böylelikle mantıksal bir sistem olarak geometri oluştu ve Öklid tanımladı. Stokeia 》 Örme ve gelecek nesillere bırakıldı. Sayı teorisi ve irrasyonel sayı teorisini içeren bu 13 ciltlik kitap, esas olarak geometri hakkındadır. Şimdi temel geometri dediğimiz şey, bu geometrik parçanın kalıtımı ve uzantısıdır. "Stoikeia" Batı biliminin gelişmesine büyük katkı sağlamıştır ve bunun sebebinin içerik değil, tarifin yöntemi ve tavrı olduğu söylenebilir. "Stoikeia" tanımların, varsayımların ve aksiyomların öncülüne göre tanımlanır ve daha sonra sonuçlar sezgi yoluyla değil, yalnızca argümantasyon yoluyla elde edilir. Bu yöntem, bilimin ideal biçimini açıklığa kavuşturdu ve gelecek nesillerde akademik sistemler için bir model olarak kullanıldı. Örneğin, B. de Spinoza'nın "Etik" (1675'te tamamlandı) ve I. Newton'un "Principia" sı (1687) Bu şekilde yazılmıştır. Tanımlar ve aksiyomlar, gelecek nesillerde sıklıkla eleştirilse de, hala yeni matematiğin doğuşunun kaynağıydı.

Yunan geometrisi Öklid ile sınırlı değildir. İdealleri uyumlu ve akılcı güzel olan Pisagor ve Platon, sadece düz çizgiler ve daireler kullanarak, yani bir cetvel ve bir pusula kullanarak çizim, geometrik ve parabol gibi eğrilerle reddedilmiş çizim yaptılar. Geometrik yapıyla, "bir köşeyi üç eşit parçaya bölmek, bir küpün iki katı hacminde bir küp yapmak, bir daire ile aynı alana sahip bir kare yapmak" sorusu Öklid'den çok daha eskidir. Zamanlardan beri coşkuyla incelenmiştir. Ancak, nihayet çözümsüz bırakıldı ve Yunan matematiğinin üç ana problemi olarak geride kaldı ( Çekilemez sorun ). Bir dairenin alanı ve bir kürenin hacmi ile ilgili olarak, Öklid, orantılılık sabiti, yani / 4 veya π / 6 değil, çapın karesiyle veya küpüyle orantılı olduklarını belirtir. Öte yandan, Arşimet Bir dairenin alanını ve bir kürenin hacmini doğru bir şekilde hesaplamak için ve bir daireyi çizen veya çevreleyen normal bir onaltıgenin çevresini bularak "sıkıştırma yöntemi" adlı bir yöntem geliştirdi. 3.14'ün π ondalık noktasından sonraki ikinci basamağa kadar doğru bir değer olduğunu kanıtladık. Parabol, Arşimet tarafından da tedavi edildi, ancak Perge'li Apollonius elips, hiperbol ve parabolü, konik yüzey bir düzlem tarafından kesildiğinde bir kesik olarak elde edilen konik bölüm olarak birleşik bir şekilde muamele etti. Bu eğrilerin doğasını açıklığa kavuşturmak için hacmi örüyoruz. Astronominin etkisi altında, düzlem trigonometri ve küresel trigonometri, Hipparcos tarafından MÖ 150 civarında ve MÖ 100 civarında, üçgenin alanının formülü ile ünlü Heron ve temel geometri Menelaus ve Putremaios (Tremy) tarafından yaratıldı. teoreminde yer alan, katkıda bulunmuştur.

Analitik Geometri

Öklid geometrisi çok düzenli bir mantıksal sistemdir, ancak bir keşif bilimi değil, bir kanıt bilimidir. Ek olarak, kanıtlama teknolojisi için birleşik bir yöntem yoktur ve her durum kendi yöntemini gerektirir. Ptolemy I tarafından Öklid'e sorulan efsane, "Stoikeia'dan daha hızlı bir yol var mı?" Bu durumu açıklamak için "Geometride kraliyet yolu yoktur" denilebilir. Rönesans Avrupa'sında Yunan matematiği yeniden canlandırıldı ve Hindistan ve Arabistan'da meydana gelen cebir de tanıtıldı. 17. yüzyılın başında, harfleri kullanan genel bir formül olarak işaret sistemi neredeyse kurulmuş ve cebir haline gelmiş ve alt mertebeden denklemler de çözülmüştür. Öklid'in yönteminin aksine, denklemleri kullanarak problem çözmenin cebirsel yöntemleri keşfedilebilir, mekanik ve birleşiktir. Bilinmeyeni bulmak için onu bilinenle birleştirip bir denklem olarak ifade edebilir ve hesaplayarak basit bir hale indirebiliriz. P.de Fermat ve R.Decart, geometrinin cebirselleştirilebildiği ve rakamlar koordinatlar eklenerek sayılar arasındaki ilişkisel ifadelerle temsil ediliyorsa, cebirsel yöntemlerle çalışılabilen analitik geometri fikridir. Özellikle Got Descartes, bu fikri ünlü kitabı Discourse on Method (1637), Geometry'nin eklerinden birinde tanımlayarak, bu yöntemin geometri keşfedilebilirliği ve bütünlük sağladığını vurguladı. Analitik geometri, kalkülüsün gelişimi için güçlü bir temel sağladı ve L. Euler ve ark. 18. yüzyılda Apollonius'un konik kesit teorisi cebirsel olarak ikinci dereceden eğri teorisi olarak organize edildi. Analitik geometri, sayıların ve rakamların esasen farklı olmadığı, birinin diğerinin temsili olduğunun kabul edilmesine yol açmıştır. Bu tanımanın matematiğin gelecek nesillerde gelişmesinde büyük etkisi oldu. Analitik geometrinin aksine, doğrudan Öklid stilindeki figürleri dikkate alan geometriye genel geometri veya saf geometri denir.

Projektif geometri

Rönesans döneminde Leonardo da Vinci ve A. Durer gibi sanatçılar tarafından başlatılan perspektif, teknik açıdan incelenmeye devam edilmiş ve 17. yüzyılda bu geometri yöntemi çalışılmıştır. G. Desarg ve B. Pascal tarafından başlatıldı. Perspektif çizim yöntemi, uzayda bir figürün sabit bir noktadan yansıtılması ve bir düzleme yansıtılması ve tam olarak bir fotoğrafik anlatım yöntemi olan bu izdüşüm çizimi ile orijinal figürün ifade edilmesi yöntemidir. Projeksiyonla noktalar noktalara hareket eder ve düz çizgiler düz çizgilere geçer, ancak çizgi parçalarının uzunluğu ve açıların boyutu gibi metrik buna göre değişir ve paralellik özelliği de bozulur. Bununla birlikte, projeksiyon çiziminde genellikle orijinal figürün geometrik yapısını tanımak mümkündür. Bu, projektif özelliklerin, yani projeksiyonun çalışması nedeniyle değişmeyen geometrik özelliklerin varlığından kaynaklanıyor olabilir. Bir projektif özelliğin en basit örneği, bir nokta ile düz bir çizgi arasındaki bağlantıdır, örneğin bir eşdoğrusal çizgi (bazı noktalar tek bir düz çizgi üzerindedir) veya eşzamanlı bir nokta (bazı düz çizgiler bir noktada kesişir). Bununla birlikte, projeksiyon nedeniyle kesişen iki düz çizgi bile paralel çizgiler haline gelebilir, bu nedenle iki paralel düz çizginin sonsuzluk noktasında kesiştiğini okumak gerekir. Desarugu ve Pascal çeşitli örneklerle göstermektedir ki, sonsuzluk noktası ve bunların bir toplamı olan sonsuzluktaki çizgi dikkate alındığında, Yunanlıların tek tek belirttikleri ve ispatladıkları şeylerin birleşik ve evrensel bir şekilde elde edilebileceği belirtilmektedir. Oldu. Bunlar arasında, Desarg'ın teoremi <iki üçgenin karşılık gelen üç köşesini birleştiren düz çizgi bir noktada kesişirse, karşılık gelen kenarların kesişimi tek bir doğru üzerindedir ve bunun tersi de geçerlidir> ve <konik bölüm Pascal teoremi vardır: bir eğriye yazılmış bir altıgenin zıt kenarları veya uzantılarının kesişimleri düz bir çizgi üzerindedir. Desarg ve Pascal'dan sonra, analitik geometri ve analizdeki olağanüstü ilerlemelerin arkasında, projektif geometri çalışması unutuldu, ancak 18. yüzyılın sonunda G. Monge perspektif projeksiyonunu yeniden canlandırdı. 19. yüzyılın ilk yarısında, projektif yöntemlerle sistematik bir geometri çalışması yapıldı ve projektif geometri adı verilen bir matematik alt bölümü oluşturuldu. Temel, uyumsuzluk oranını yansıtmalı bir özellik ve yansıtmalı geometrinin ikiliği olarak bulan JV Poncelet tarafından atıldı. Bunu miras alan Steiner J. Steiner (1796-1863), dörtlü eğrilerin ve dörtlü yüzeylerin projektif olarak ele alınabileceğini gösterdi ve AF Mobius ve J. Plucker, projektif geometriyi analiz etmek için koordinatları tanıttı. Burs olarak inşa edildi ve Steiner KGC von Staudt (1798-1867), Desarg teoremine dayanan genel bir geometri olarak inşa etti.

Öklid dışı geometri

Öklid tarafından verilen beş aksiyomdan beşincisi, <Eğer bir düz çizgi iki düz çizgiyi keserse ve aynı taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha azsa, o zaman iki düz çizgi o tarafa sonsuz uzatılmışsa . Kesişim> belirtilir. Bu aksiyom, diğer aksiyomlardan çok daha karmaşıktır ve açıklığı sorgulanmıştır. Bu nedenle 5. postülatın diğer postülatlardan ispat edilebilecek bir teorem olduğu düşünülmekte ve ispatı 4. yüzyılda Proclus'tan (410 veya 411-485) beri durmaksızın denenmektedir. Bu süre zarfında, 5. varsayımın <düz çizginin dışından ve bu düz çizgiye paralel bir noktadan geçen tek bir düz çizgi var> veya <üçgenlerin iç açılarının toplamı iki dik açı>. Ancak asıl amaca ulaşılamadı. Bunlardan özellikle dikkate değer olanlar, beşinci postülatın tutmayacağı varsayımıyla reduktio ad absurdum ile ispat etmeye çalışan ve çeşitli sonuçlar elde eden Sackeri G. Saccheri (1667-1733) ve AM Legendre'ninkilerdir. Araştırma var. Bununla birlikte, Öklid geometrisinin a priori doğasına olan inançlarından dolayı, bunu Beşinci Postülatı inkar edebilecek bir önerme olarak değerlendiremediler. Beşinci varsayımı cesurca reddeden ve yerine <düz çizginin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düz çizgiye paralel olan en az iki düz çizgi vardır> aksiyomunu koyan NI Lobachevsky idi. Boyai J.'de, 1830 civarındaydı. Dönemin matematiğin imparatoru CF Gauss da böyle bir geometrinin varlığına inanıyordu ve ona Öklid dışı geometri adını vermişti, ancak daha sonra onu korkusuyla yayınlamadığı keşfedildi. gürültülü eleştiri. Ancak, bu insanlar sadece Öklid dışı geometri geliştirdiler ve tutarlılığını kanıtlayamadılar. Bu, hem Öklidsel hem de Öklid dışı geometrinin tutup tutamayacağı sorusunu gündeme getirdi ve bu F. Klein ve diğerleri tarafından çözüldü. 19. yüzyılın sonundan 20. yüzyılın başına kadar. Yani, Öklid geometrisinde Öklid dışı geometri modelini yaptılar ve Öklid geometrisi çelişki içermediği sürece Öklid dışı geometrinin de çelişkisiz bir mantıksal sistem olduğunu gösterdiler. 1854'te B. Lehman, düz bir çizginin uzunluğunun sonlu olduğu ve iki düz çizginin her zaman iki noktada kesiştiği bir geometri inşa etti ve Klein, iki düz çizginin her zaman bir noktada kesişmesi için bunu biraz değiştirdi. Geometriyi ben oluşturdum. Bu Öklid dışı geometri eliptik geometri olarak adlandırılırken, yukarıda bahsedilen Öklid dışı geometri hiperbolik geometri olarak adlandırılır. Bir üçgenin açılarının toplamı, eliptik geometride iki dik açıdan büyüktür ve hiperbolik geometride iki dik açıdan daha azdır. Ayrıca, Öklid dışı geometride, bir üçgenin alanı üç tepe açısının boyutuyla belirlenir, bu nedenle benzer üçgenler uyumludur.

Geometri ve halk teorisinin birleştirilmesi

Kartezyen koordinatlar kullanılarak, düzlemdeki noktalar iki gerçek sayı kümesiyle temsil edilir ve koordinatları (x 1 , x 2 ) ve ( y 1 , y 2) olan iki nokta arasındaki mesafeile verilir. Benzer şekilde, uzaydaki bir nokta üç gerçek sayı kümesiyle temsil edilir ve koordinatları (x 1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3) olan iki nokta arasındaki mesafe dır-dirtype="inline"/> 80065742'de verilmiştir. Bu analitik olarak genelleştirilmiştir ve 2 nokta ( x 1 , x 2 , ……, x n ), ( y 1 ,) bir dizi n gerçek sayı (x 1 , x 2 , ……, x n ) puan olarak. Y 2 , ……, y n) arasındaki mesafetarafından verilen n- boyutlu Öklid uzayı, HG Grassman ve ark. 19. yüzyılın ortalarından. Bununla birlikte, düzlem geometri ve üç boyutlu geometri analitik olarak n- boyutlu Öklid geometrisine genelleştirildi ve projektif geometri ve Öklid dışı geometri de n-boyutlu duruma genelleştirildi. Yukarıda belirtildiği gibi, 19. yüzyılın ortalarında çeşitli geometriler vardı, ancak Klein bunları 1872'de bir grubun bakış açısından birleşik bir şekilde tartıştı. Bu ünlü Erlangen programıdır. Daha sonra, her bir geometri değişmez her dönüşümünü olan S şeklin özelliği, noktalar bir dizi alan S, ve bunun üzerinde dönüşüm grup G ve ne bu geometri incelenmiştir tarafından belirlenir bulur G. buna ait söz konusu edilmiştir. Buna göre, örneğin, Öklid geometrisi, Öklid uzayının oluşturduğu bir grup ve uyumlu bir dönüşüm (herhangi iki nokta arasındaki mesafeyi değiştirmeyen Öklid uzayının kendisine bire bir karşılık gelmesi) tarafından belirlenir ve uyumludur. Değişmez uzunlukları ve alanları dönüşümle inceleyen bir geometri haline gelir. Ek olarak, yansıtmalı geometri, yansıtmalı uzay (sonsuzluk noktaları içeren uzay) ve yansıtmalı dönüşüm (bir çizgiyi düz bir çizgiye aktaran yansıtmalı uzayın kendisine bire bir karşılık gelen) oluşturduğu bir grup tarafından belirlenir. Değişmez kuplaj özelliklerini ve uyumsuzlaştırmayı inceleyen bir geometri haline gelir. Dahası, hiperbolik geometri, buna karşılık gelen geometri olarak tanımlanabilir, sadece projektif uzayda dörtlü bir Q yüzeyinin içini bir uzay olarak düşünerek ve Q'yu değişmez yapan projektif dönüşümün yarattığı grubu göz önünde bulundurarak. Eliptik geometri, Q gibi hayali bir kuadrik yüzey düşünülerek aynı şekilde tanımlanabilir.Erlangen Programı, geometri araştırmalarının yol gösterici ilkesi olarak, yayınlandıktan sonra yaklaşık 50 yıldır geometrik dünyada yer almıştır ve geometrinin gelişimi. 19. yüzyılın ikinci yarısında, uzun yıllar tam bir mantıksal sistem olarak kabul edilen Öklid'in Stoikeia'sının birçok mantıksal kusuru olduğu da belirtildi. Örneğin, Pasch M. Pasch (1843-1930), "Düz bir çizgi bir üçgenin içine girerse, tekrar dışarı çıkar" aksiyomunun gerekli olduğunu keşfetti. Bu nedenle, Öklid'in postülatını desteklemek ve Öklid geometrisinin mantıksal olarak eksiksiz bir aksiyom sistemini vermek için araştırmalar yapıldı ve D. Hilbert'in "Temel Geometri" kitabında (1899, 1. baskı, 1930, 7. baskı). Tamamlandığını gördüm.

Diferansiyel geometri

Diferansiyel hesaplama, Fermat'ın düzlem eğrilere teğetlerin nasıl çizileceğine dair çalışması ve 17. yüzyılın sonlarında kalkülüsün kuruluşundan bu yana diferansiyel hesabın kanıtladığı gibi, eğrilerin incelenmesi ile yakından ilgilidir. Eğrilerin uygulaması ile incelenmesi diferansiyel hesabın bir parçası olarak geliştirilmiştir. Daha sonra düzlem eğrilerinin, salınımlı çemberlerin, evrimlerin, zarfların vb. Eğriliği incelenmiş, ancak bu çalışmalar uzamsal eğriler üzerinde benzer çalışmalara yol açmış ve 18. yüzyılda eğri yüzeylerin eğriliği ve jeodezikler üzerine daha ileri çalışmalar yapılmıştır. Johann Bernoulli (1667-1748), Euler, JL Lagrange, Monju vd. Bu şekilde, diferansiyel geometri, eğri yüzeylerin ve eğimli yüzeylerin özelliklerini matematik kullanarak incelemeye başladı, ancak 19. yüzyılın başında Gauss, eğimli yüzey teorisinin temelini oluşturdu ve eğimli yüzeyler üzerinde geometri geliştirdi. Sonuç olarak, matematiğin bir alt bölümü olarak diferansiyel geometri oluşturuldu. Bundan sonra, 19. yüzyılda, Bonnet O. Bonnet (1819-92), Bertramie E. Beltrami (1835-1900), MS Lee, JG Dalboo ve diğerleri, Öklid uzayındaki eğriler ve eğimli yüzeyler hakkında birçok ilginç sonuç buldular. Yapıldı. 20. yüzyılda, Klein'ın fikirlerinin etkisi altında, projektif uzayda eğrilerin ve eğimli yüzeylerin projektif dönüşümündeki değişmez özellikleri incelemek için diferansiyel hesabı kullanan projektif diferansiyel geometri, Fubini ve arkadaşları tarafından incelenmiştir. Benzer diferansiyel geometri W. Blachke (1885-1962) ve diğerleri tarafından incelenmiştir. Diğer çeşitli alanlar için.

Riemann geometrisi

U ve v parametreleri kullanılarak ifade edilen yüzeydeki iki neredeyse sonsuz nokta arasındaki ds mesafesi , yani (u , v ) ve ( u + du , v + dv) 'ye karşılık gelen yüzeydeki iki nokta arasındaki ds mesafesi Bu ds olarak verilir olan 2 = eğitim + 2 Fdudv + Burada GDV 2., E, F, ve G, u ile ilgili olarak türevlenebilir ve s. Gauss miktarları ve özellikleri belirlendiğini tespit fonksiyonları 2 E , F ve G ile üç boyutlu uzayda eğimli yüzeyin parametre gösterimine veya konumuna bağlı değildir, ancak eğimli yüzeyin kendisinin iç özellikleridir ve eğimli yüzey üzerindeki geometri açıklanır. Genişletilmiş. Riemann bundan ilham aldı ve n sayıda gerçek sayı seti ( x 1 , x 2 , ……, x n ) nokta ve iki neredeyse sonsuz nokta ( x 1 , x 2 , ……) ile genelleştirdi. , x n) ve (x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, ......, x n + dx n arasındaki mesafe ds ) tarafından verilen boşluk olarak kabul edilir: bunun üzerine geometrik olarak yapılandırılmış savunucu yaptı.00318601, g'nin j (1 ≤ in 1 ≤ jn) x, 1 ile ilgili olarak sürekli türevlenebilir bir fonksiyon, x 2, ..., x, n, ve tatmin g'nin J = gr j ben. Eğer ( x 1 , x 2 , ……, x n ) ≠ (0, 0, ……, 0) ise, o zaman Σ g i j x i x j > 0 ve eğer durum buysa, neden? Olabilir. Bu fikir, 1854 yılında Göttingen Üniversitesi'nde bir öğretim görevlisinin "Geometri Altındaki Hipotez Hakkında" başlıklı çalışma dersinde ifade edilmiştir ve bu geometri Riemann geometrisi olarak adlandırılır. Riemann geometrisi Öklid geometrisi, diğer Öklid dışı geometri, sonsuz sayıda geometrik alarak {g i j} dahil olmak üzere, düşünce mekansal kavramlar ve geometri kavramında devrim yarattı. Riemann geometrisinden sonra, Riemann geometrisi, Christoffel EB Christoffel (1829-1900), Rich CGRicci (1853-1925) ve diğerleri tarafından ikinci dereceden diferansiyel formun değişmez bir teorisi olarak incelendi, ancak 1916'da A. Einstein'ın genel görelilik teorisi. Yukarıda kullanıldı ve çok ilgi gördü. O zamanlar, Levi-Civita (1873-1941) çeviri kavramını tanıttı ve 20 civarında E. Cartan onu bağlantı kavramına geliştirdi ve bu da Riemann geometrisinde geometri ile sonuçlandı. Geometrik renkler eklendi. Riemann uzayında uzunluğu değişmez kılan tek dönüşüm kimlik dönüşümüdür, bu nedenle Riemann geometrisinin Klein anlamında geometri olduğu söylenemez ve Riemann geometrisinin gelişimi Erlangen programı fikrine çöktü. (Hatan) doğdu.

Topoloji

Daha önce Öklid geometrisinde ve yansıtmalı geometride, sırasıyla uyum dönüşümü ve yansıtmalı dönüşüm nedeniyle değişmeyen geometrik özelliklerin çalışıldığını, ancak fazın uyum dönüşümü ve yansıtmalı dönüşümden çok daha genel olduğunu belirtmiştim. Dönüşüm veya faz içi haritalama denen bir şey var. Bu, iki figür arasındaki bire bir yazışmadır ve bu ve onun ters eşlemesi süreklidir. Bu nedenle, homeomorfizm ile değişmeyen özellikleri inceleyen geometri düşünebiliriz. Topoloji, temel amacı bu tür araştırma olan bir matematiktir ve topoloji olarak çevrildiği gibi, bu geometri bir şeklin konumu ve şekli ile ilgili bir özelliktir ve yalnızca noktaların sürekliliğine bağlıdır. Doğa ile ilgilenilir. Topoloji, analiz situs adı altında GW Leibniz tarafından öngörülmüş, ancak somut çalışma ilk olarak Euler tarafından verilmiştir. Tek vuruşlu bir çalışma (1736) ve bir küreye homomorfik olan dışbükey bir çokyüzlü, Königsberg kentindeki yedi köprünün her birinin tekrarlanmadan tekrar tekrar geçilip geçilemeyeceği sorusuyla bağlantılı olarak. Bu teoremdir (1752), köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısı sırasıyla α 0 , α 1 ve α 2 olduğunda α 0- α 1 + α 2 her zaman 2'dir.Euler'den sonra, Gauss'un uzaydaki iki kapalı eğrinin sabah bulantısı sayısı üzerine çalışması (1853) ortaya çıkana kadar topoloji üzerine hiçbir çalışma yoktu. Gauss'un etkisiyle, eğimli yüzeylerin topolojisinin incelenmesi aktif hale geldi ve Mobius, Riemann ve diğerleri eğimli yüzeylerin nasıl bağlanacağını inceledi ve yönlendirilmemiş eğri yüzey olarak ünlü Mobius şeridi keşfedildi (1857). Teoride önemli bir rol oynayan Riemann yüzeyi kavramı elde edildi (1851). Topoloji kelimesi de literatürde ilk kez 1847'de Listing JB Listings (1808-82) tarafından yazılan bir kitapçığın başlığı olarak yer aldı. Eğri yüzeyleri C. Jordan, Schläfli L. Schläfli (1814-95), Dick WFAvon Dyck izledi. (1856-1934) ve diğerleri ve 19. yüzyılın sonunda kapalı yüzey homeomorfizmi sınıflandırıldı. Tamamlandı. Eğrilerle ilgili olarak, Jordan'ın "kendisiyle kesişmeyen kapalı bir eğri bir düzlemde olduğunda, düzlemi içeride ve dışarıda olmak üzere iki bölgeye böler" teoremi (1893) ve karenin içini dolduran süreklilik kanıtlanmıştır. . Eğriler, G. Peano (1890) tarafından keşfedildi ve eğrilerin ve boyutların tanımı bir sorun haline geldi. Yukarıdaki derste Lehman , uzay kavramını genişletmek ve geometrisi hakkında düşünmek için n-boyutlu manifold kavramını sunmayı önerdi ve Betti E. Betti (1823-92) bu fikri takip etti. Betti sayıları kavramını, manifoldların yüksek boyutlu bağlantısını temsil eden topolojik değişmezler olarak elde ettik (1870). Böylesine öncü bir çalışmadan sonra, topolojinin temeli H. Poincaré tarafından atıldı. Açıkça n-boyutlu bir manifoldu tanımlar, her noktanın n-boyutlu Öklid uzayı ve faz noktası yakınına yerleştirilir, manifold polihedron, yani tek Toka retikulum denilen temel şekillerde sabit Onları kombinasyon halinde ele almak uygundur. bir yöntemle bağlanabilen rakamlar olarak. Daha sonra polihedra için homoloji gruplarını ve temel grupları tanımladı ve manifoldların topolojisini inceledi (1895). Rakamların sürekliliğini incelemek için cebirde grup teorisini kullanma fikri gerçekten çığır açıcıydı ve topoloji burada güçlü bir araştırma yöntemi kazandı. Bu yöntem, 1920'lerde LEJ Broel, ardından Veblen O. Veblen (1880-1960), Alexander JW Alexander, S. Lefschetz ve diğerleri tarafından miras alındı ve titizlikle ve genelleştirildi. Ayrıca bu işlemle sabit nokta teoremi elde edilmiş ve topolojinin matematiğin hemen hemen tüm alanları için önemi anlaşılmıştır. Poincare ile topolojinin oluşumuna büyük katkı sağlayan küme teorisinin kurucusu G. Cantor'du. N-boyutlu Öklid uzayında genel nokta kümelerine sınır noktaları, açık kümeler ve kapalı kümeler gibi faz kavramlarını tanıttı ve Öklid uzayında faz teorisini (1879-84) kurdu. ). 20. yüzyılda nokta küme teorisi M. Frechet (1906) tarafından metrik uzay teorisine ve ayrıca F. Hausdorf ve diğerleri tarafından faz uzayı teorisine genelleştirildi. 20'lerde. Sonuç olarak soyut uzay üzerinde limit ve süreklilik teorisi geliştirilmiş ve bununla birlikte topolojik uzay için eğriler, boyutlar, homoloji grupları vb. Tanımlanarak özleri netleştirilmiştir. Özellikle homoloji grubunun, homotopi eşdeğerliği adı verilen, homeomorfizmden daha geniş olan ve mutlaka bire bir karşılık gelmeyen bir haritayla bile değişmez olduğu bulundu ve homotopi üzerine araştırmalar aktif hale geldi. Hurewicz (1904-56) (1935) tarafından temel grubun bir genellemesi olan bir homotopi grubu tanıtılmış ve homotopi üzerine araştırmalar bunu bir silah olarak kullanarak gerçekleştirilmiş ve sonuçlar çeşitli sorunların çözümüne katkı sağlamıştır. matematik. ..

Modern geometri

Poincaré'den bu yana, manifoldlar üzerine yapılan araştırmalar, homolojik özellikler ve üç boyutlu manifoldlar üzerine yapılan araştırmalar dışında çok az ilerleme kaydetmiştir. Bununla birlikte, farklılaştırılabilir manifold kavramının oluşturulduğu ve lif demetleri kavramının tanıtıldığı 1940'tan bu yana, manifoldlar üzerindeki araştırmalar, homoloji ve homotopi teorisini uygulayarak ilerlemiştir. Özellikle 1950'lerin sonlarında, manifoldlarla ilgili birçok önemli sorun birbiri ardına çözüldü. Bununla birlikte, üç boyutlu ve beklenmedik bir şekilde söz konusu olan yüksek boyutlu dört boyutlu manifoldlardan bile daha zor, <üç boyutlu kapalı manifold M üzerindeki M 1 noktasında herhangi bir kapalı eğri içinde daralırsa, M , üç boyutlu bir küredir. ile eş zamanlı olacağı varsayımı da çözülmedi. Diferansiyel geometri, ana araç olarak diferansiyel hesapla geliştirildiğinden, araştırma konularının çoğu uzayın yerel özellikleriyle ilgiliydi, ancak modern zamanlarda, bir bütün olarak şekillerin özelliklerine ve diferansiyel hesaba dikkat edildi. Geometri ayrıca manifoldlar üzerinde de geliştirilmiştir. Burada, ikinci dereceden diferansiyel formlar, karmaşık yapılar ve bağlantılar gibi yapılar verilen farklılaştırılabilir manifoldlar teorisi, özellikle de diferansiyel geometrik özellikler ve topolojik özellikler arasındaki ilişkinin incelenmesi incelenmiştir. Oldu. Kuadrik eğrileri ve dörtlü yüzeyleri genelleştirerek, yüksek boyutlu uzaydaki çeşitli cebirsel denklemlerin ortak çözümleri kümesine cebirsel çeşitler denir ve bunu incelemek için matematiğe cebirsel geometri denir. Ağırlıklı olarak cebiri bir araç olarak kullandığından, cebir alanına aittir. Günümüzde birçok matematik, manifoldlar aşamasında geliştirilmektedir ve geometri genel olarak matematiğe nüfuz etmekte ve cebir ve analizle ilişkili olarak organik olarak gelişmektedir.
Minoru Naooka

Grafik ve mekanın doğasını incelemek için matematik bölümü. Mısır, Babilya ve Yunanistan'da geliştirilen temel geometri, Öklid geometrisinde sistematize edilmiştir , ancak modern zamanlardan beri Öklid olmayan geometri , analitik geometri , projektif geometri , diferansiyel geometri , Riemann geometrisi , topolojik geometri ve daha fazlası Doğuş alanı doğmuştur. Üç boyutlu geometri, düzlemsel geometri, üç boyutlu uzay figürleri (mekansal figürler, üç boyutlu figürler) gibi düzlemsel (iki boyutlu uzay) şekilleri ele alan geometri ile başa çıkmak için kullanılır, fakat daha gelişmiş geometride, Ya da sonsuz boyutlu uzayda. Özgün geometri metni
→ ilgili matematik | matematik | Mandelbrot