grup

Tüm pozitif sayıların P kümesi dikkate alındığında , bunlar aşağıdaki dört koşulu karşılar. (1) a ve b , P'nin elemanları ise , a × b çarpımı belirlenir ve a × b aynı zamanda P'nin bir unsurudur. (2) Birleşim kanunu, yani ( a × b ) × c = a × ( b × c ) tutar. (3) 1 x a = a x 1 = a (kimlik öğesi 1 mevcuttur). (4) a × a ⁻ ¹ ＝ a ⁻ ¹ × a ＝ 1 (bir ters eleman vardır a there ^1).

Genelde çarpma sayısı ile sınırlı olmamak üzere, bir küme için bir işlem G (haritalama sentezi gibi katkı maddesi sayısı) tanımlanır, yukarıdaki gibi dört koşulu karşıladığında, G bir gruptur. Somut örneklerde, ×, + ve ◦ gibi işlemler için çeşitli semboller olabilir, bu nedenle genel olarak * ile temsil ediliyorlarsa, tanım aşağıdaki gibi belirtilir.

Tanımlanmış tek bir hesaplamaya * sahiptir, G kümesi, yani (1) a, eğer b G orijinalse ve kesin ise a * b, bir G oluşturucuysa , ayrıca aşağıdaki üç koşul (2) - (4) karşılandığında, G bu operasyonla ilgili bir grup oluşturduğu söyleniyor *. (2) Birleşim kanunu, yani ( a * b ) * c = a * ( b * c ) geçerlidir. (3) G boğazındaki orijinal a için bile uygun bir kaynak e vardır ve e * a = a * e = a. Bu e , G'nin özdeşlik elemanı olarak adlandırılır. (4) G'nin her bir a elemanı için, a * b = b * a = e böyle orijinal b olur. Bu b , a'nın tersidir .

Genellikle a + kullanmak için aritmetik sembol olarak toplayıcı olarak adlandırılan bir zamanın hesaplanması, 0'daki durum birliğini temsil eder, sıfır olarak anılır, ayrıca a ile ifade edilen , negatif a olarak anılır.

Bir işlem çarpma olarak adlandırılır, bu işlem simgesini kısaltmak için ortak olan (a * b ab) ya da kullanım · ve kimlik elemanı genellikle ⁻ ¹ tarafından temsil edilen bir 1. ters ile temsil ^{edilmektedir.}

Sayıların toplanması ve çarpılması durumunda, koşul (5) değişme yasası, yani a * b = b * a karşılanır. Böyle bir durumda Değişmeli grup Veya değişmeli grup olarak adlandırılır. Bundan böyle, bu bölümde, grup işlemleri için semboller atlanacak ve ürün ab olarak yazılacaktır.

Simetrik gruplar (sayıların toplanması ve çarpılmasından farklı işlemlerle grup oluşturma örneği olarak İkame grubu ), Ama size bunun dışında basit bir örnek vereyim.

Masanın üzerinde ön ve arka tarafı ayırt edebilen bir tahtanın yerleştirildiği durumu düşünün. Plakayı çevirme işlemi a, e ile hiçbir şey yapmamaya çalışmaktır. Bir iki kez tekrar edildiği aa göz önüne alındığında, AA = e, orijinal durumuna geri döner. Daha sonra, yalnızca iki öğe , a ve e, bir grup oluşturur. Şu anda sadece panonun önüne ve arkasına koyduğumda panonun yönünü düşünmedim ama aynı operasyonu aklıma getirerek düşünürsem oldukça karmaşık bir grup oluşturulabilir.

JL Lagrange ve Vandermonde Alexis Théophile Vandermonde (1735-96), 5. derece ve üstü denklemlere çözüm bulma çabasıyla, 1770 civarında kübik ve dördüncül durumlar için çözümleri incelediler ve kök formülasyonunda kökler buldular. Değişimler yapıldığında değerlerin ne kadar farklı olduğuna odaklandık. Yaklaşık yarım yüzyıl sonra, NH Abel ve Evariste bu fikri geliştirdiler ve Abel önce cebirsel olarak polinomları çözdü (katsayılardan başlayarak ve kök alan beşli denklemler ve işlemlerle elde edilir). Ve bazı genel beşli polinomların cebirsel olarak çözülemeyeceğini gösterdi. Galois daha da ileri giderek bir polinom grubunu (bugünün dilinde Galois grubu) ele aldı ve köklü alanı ve ara maddelerini tanımladı ve Galois grubunun yapısı ile ara maddeler arasındaki ilişkiyi aydınlattı. .. Daha sonra açıklanan normal alt grubu tanımlayan da Galois'ydı ve Galois'in bu çalışmasının grup teorisinin başlangıcı olduğu söylenebilir. Galois teorisi, C. Jordan'ın 1870'de yayınlanan kitabında ayrıntılı olarak tanıtıldı. Ele aldığımız grup, bir denklemin köklerinin permütasyon grubuydu ve daha sonra AL Cauchy, daha genel permütasyon grubuyla, ancak aşağıda belirtildiği gibi soyut tanımla ilgileniyordu. başlangıç Cayley Arthur Cayley'dir (sonlu gruplar durumunda). ) Ve L. Kronecker (genellikle). Soyut gruplar kavramına bu şekilde ulaştığımızda, F. Klein'in ünlü Erlangen Programı ile netleştirilen, gruplar ve geometri arasındaki ilişki ortaya çıktı. O zamandan beri, gruplar kavramı sadece cebir ve geometri değil, matematiğin birçok alanında çok temel hale geldi. Aynı zamanda kristalografi ve kuantum mekaniğindeki kristallerin sınıflandırılmasında da uygulanır. Aşamayı gruba koyun Topolojik grup Ayrıca geniş bir uygulama yelpazesi vardır. O kadar çok önemli grup var ki uygulama alanına göre grupların olduğu söylenebilir ve bunların çoğu Lie grubu Ne denir dahil.

X ⁶ -2 = 0 denkleminin Galois grubunu belirleyelim. 1'in hayali küp köklerinden biri ω, −ω 1'in 6. kökü ve yukarıdaki denklemin 6 kökü ± ⁶ \ (\ sqrt {2} \), ± ω ⁶ \ (\ sqrt). {2} \), ± ω ^{2 6} \ (\ sqrt {2} \). Galois grubu G'nin orijinal φ bağımsız olarak 6 kökten oluşan bir permütasyon değildir, ancak bir sayı sistemi olarak uygun olduğu düşünülürse, ⁶ \ (\ sqrt {2} \) ve ω (eski) 'ye kopyalanır . 6 kökten biridir ve ikincisi ω veya ω ^2'dir ), diğer köklerin hedefi de belirlenir.type="inline"/> (00416302 gibi). Yani σ, τ,göre,

σ, σ ² , σ ³ , σ ⁴ , σ ⁵ , σ ⁶ = 1

τσ, τσ ² , τσ ³ , τσ ⁴ , τσ ⁵ , τ

12 elementi farklı G elementleridir. ⁶ \ (\ sqrt {2} \) 6 hedefe ve ω 2 hedefe sahip olduğundan, G'nin elemanı 6 × 2 = 12'den fazla olamaz, dolayısıyla yukarıdaki 12 eleman Galois'dır. Bir grup oluşturun. Bu grupta, ^{σ 6} = 1'e ^{ek olarak, τ 2} = 1, τστ = σ ⁵ = σ⁻ ¹ (τστ ω → ω, ⁶ \ (\ sqrt {2} \) → －ω ^{2 6} \ (\ ) Çünkü sqrt {2} \)) olarak kopyalanmıştır.

Çözülebilir bir grup kavramı vardır (daha sonra açıklanacaktır), ancak bir denklemin cebirsel olarak çözülebilmesi için Galois grubunun çözülebilir bir grup olması gerekli ve yeterli bir koşuldur.

Tek başına bir cetvel ve bir pusula ile üç eşit parçaya bölünemeyen bir angle açısı olduğu bilinmektedir.type="inline"/> 00416702 Galois grubu mevcuttur. Bu durumda, Galois grubunun eleman sayısı iki veya daha az olduğunda çizim yapmak mümkündür. Örneğin, θ = 60 ° olsa bile, Galois grubunun eleman sayısı altıdır. Bu şekilde Galois grubunun denklem çözme dışında uygulamaları vardır.

Örneğin, tüm pozitif sayıların çarpma için yaptığı P grubunda, H tam sayısını 3 ^m 5 ⁿ ( m , n tamsayıdır) biçiminde alırsak, H ⊂ P'dir ve H tek başına bir grup olur . ing. Bu nedenle, bir G grubunun bir K alt kümesi kendi başına bir grup olduğunda, K'nin G'nin bir alt grubu olduğu söylenir. Bu örnek H'nin , en küçük alt grup olması anlamında 3 ve 5 tarafından oluşturulan bir alt grup olduğu söylenir. 3 ve 5 dahil ve genellikle <3, 5> ile temsil edilir. Bir ^{<a> = {an} | n = 0, ± 1, ± 2, ......} ve a. Genel olarak, G grubunun bir K alt grubu verildiğinde, eğer a ve b ∈ G , Ka = { ka | k ∈ K } ve Kb = { kb | k ∈ K }, sonra Ka = Kb . Ka formunun tüm kümesini göz önünde bulundurarak, G'yi ortak öğesi olmayan alt kümelerin birliğine böleriz. Ka doğru eşküme modülo K (a da K orijinal kaydırılır karşılık gelen yana "sağ", sağ tarafta) ya da O olan sol K eşküme (K sol tarafta olduğu için "sola" dır). Sol ve sağ ters çevrilmiş aK formunun bir alt kümesi de düşünülebilir, ancak sol ve sağ arasındaki bu ayrım gerekli olmadığında, yani < k ∈ K ve a ∈ G olduğunda, a ⁻ ¹ ka ∈ K > tutar . K'nin G'nin normal bir alt grubu olduğu söylenir ve her Ka'ya koset modulo K denir. Tüm kosetler için, çarpma (Ka ) ( Kb ) = Kab olarak tanımlanarak yeni bir grup oluşturulur. Bu grup, ideal sınıf grubu olarak adlandırılır ve G / K ile temsil edilen bir durum tamsayıdır Z ayrıca ilgili olan bir grup olmasıdır, tek bir tamsayı katları n bir alt olan bütün nZ ve her eşküme n'ye bölünen ve aynı kalanlara sahip olanlardan oluşan bir gruptur. Düşünürseniz, anlamanıza yardımcı olacaktır.

H ve K , G grubunun alt grupları olduğunda, en küçük alt grup, {h ⁻ ¹ k ⁻ ¹ hk | h ∈ H , k ∈ K }, H ve K ve [ H , K ] 'nin komütatör grubu olarak adlandırılır. Let [H, H] D (H) olarak ifade edilebilir. G = G _{0 ayarlandığında} ve G _{i + 1} = D ( G _i ) ayarlandığında, G = G ₀ ⊇ G ₁ ⊇ …… ⊇ G _n ⊇ ……, ancak _{G n} , belirli bir n'deki kimlik öğesidir. Sadece olduğunda, G'nin çözülebilir bir grup olduğu söylenir. Aşağıdaki gibi alt grup sütunları olsa bile aynıdır. _{G = H 0 ⊃ H 1 ⊃} ...... ⊃ H m = {birim}, her bir _{H i (i = 1,2, ......} , n) H _{i - 1} normal alt gruptur, H _{i - 1} / H _i değişmeli bir gruptur.

Denklemin cebirsel olarak çözülme koşulu, Galois grubunun bu özelliğe sahip olmasından dolayı öyle adlandırılmıştır.

H , G grubunun bir alt grubu olduğunda, birbirinden farklı olan sağ koset sayısı Ha (sonsuz durumlar dikkate alınarak) G'de H'nin üssü olarak adlandırılır. [G : H ], ( G / H) ile temsil edilir, vb . Sol koset tarafından tanımlansa bile bu aynıdır. G'nin orijinal sayısı G sırasını denilen | G |, böyle bir ♯ (G) ile temsil edilir. Bu sonlu olduğunda, sonlu grup olarak adlandırılır. G, bir düzenin <a> bir bir düzen tarafından üretilen siklik grubun elemanı. Ne zaman | G | sonludur, her Ha , H ile aynı sayıda elemandan oluşur , bu yüzden | G | = [ G : H ] × | H | elde edilir ve Ha alt grubunun mertebesi ve üssü G'dir .

G ve {kimlik öğesi} dışında normal bir G grubu alt grubu olmadığında, G'nin basit bir grup olduğu söylenir. N ≧ 5 olduğunda, n'inci sıra değişen grup ( İkame grubu ) Basit bir gruptur. Bu, derece 5 ve üzeri denklemlerin genellikle cebirsel olarak çözülebilir olmamasıyla ilgilidir. K alanındaki n'inci sıradaki özel doğrusal grup G'de , tüm skaler matris N normal bir alt gruptur, bu nedenle G / N'yi düşünebiliriz. N ≥ 2 olduğunda, G / N iki durum dışında basit bir gruptur ( n = 2 ve K'nin elemanı 2 veya 3'tür).

G grubunda, Z = { x ∈ G | herhangi bir y ∈ G için , xy = yx } normal bir alt gruptur. Buna G'nin merkezi denir. Yukarıdaki özel doğrusal grup G durumunda , N merkezdir.

Sonlu grup G sırası asal sayı p P ^E olduğunda, G, p grubu olduğu söylenir. E ≥ 1 ise, G'nin merkezinin sırası p ^m ( m ≥ 1) olur. Bu nedenle, aşağıdaki alt grup dizisi vardır. _{{Birlik} = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂} ...... ⊂ Z s = G, her i = 1,2, ......, _{s için, Z i / Z i -} 1, G / Z'dir _{i - 1} merkez. Bu nedenle, p grubu çözülebilir bir gruptur.

Bir G grubunu, başka bir H grubuna incelemek için Homomorfizm Φ göz önüne alındığında, ^{φ çekirdek φ⁻ 1} (1) = { x ∈ G | φ ( x ) = 1 (kimlik öğesi)} ve φ ( G). Böyle bir φ ve H göz önüne alındığında G'nin ifadesi denir H'nin doğrusal bir grup olması gelenekseldir ve bir grubun temsil teorisi genellikle bu tür bir temsil teorisi anlamına gelir. Permütasyon temsilleri, diğer temsil türlerinin örnekleridir. H , G grubunun bir alt grubudur00416801, bir _n H her g ∈ G, n, setleri bir _1H, ......, permütasyon için,

a ₁ H a ₂ H …… a _n H

ga ₁ H ga ₂ H …… ga _n H

İle ilişkilendirilerek, G'den n'inci dereceden simetrik gruba bir homomorfizm elde edilir.

Döndürülür normal n çokgen F, rotasyon ve F, F flip yan F dönüştürülmesi konumunu tanımlayan açısından, n, n adet sentez dönme içinde üzerinden, grup orijinal toplam 2n parçadan oluşturmak oluşan . Böyle bir gruba dihedral grup denir. Normal polihedronlar arasında düzenli tetrahedronlar, normal altı yüzlüler (yani küpler), düzenli sekiz yüzlüler, düzenli oniküzlüler ve düzenli ikosahedronlar bulunur. K merkezi çevresinde rotasyon K dörtyüzlünün pozitif n pozisyonunu, her şey n tetrahedral grubu denir K konumunu değiştirmez yapmak bir grup karar, topluca, onları sevk düzenli polihidron grubunda olduğunu edilir. Dört yüzlü grup, dörtlü alternatif gruba izomorfiktir ve 12 sırasına sahiptir. Altı yüzlü grup, oktahedral grup ve dörtlü simetrik grup, izomorfiktir ve 24'lük bir sıraya sahiptir. İkozahedron grubu, dihedral grup ve beş yüzlü alternatif grup izomorfiktir ve 60 sipariş var.
Masayoshi Nagata