matematika

english math

buod

  • isang agham (o grupo ng mga kaugnay na agham) na nakikitungo sa lohika ng dami at hugis at kaayusan

Pangkalahatang-ideya

Matematika (mula sa wikang Greek μάθημα máthēma , "kaalaman, pag-aaral, pag-aaral") ay ang pag-aaral ng mga paksa tulad ng dami, istraktura, espasyo, at pagbabago. Wala itong tinatanggap na kahulugan.
Ang mga mathematician ay naghahanap at gumamit ng mga pattern upang bumalangkas ng mga bagong haka-haka; nilulutas nila ang katotohanan o kabulaanan ng mga haka-haka sa pamamagitan ng mathematical proof. Kapag ang matematikal na istruktura ay mahusay na mga modelo ng tunay na phenomena, pagkatapos mathematical pangangatwiran ay maaaring magbigay ng pananaw o hula tungkol sa kalikasan. Sa pamamagitan ng paggamit ng abstraction at lohika, ang matematika ay binuo mula sa pagbibilang, pagkalkula, pagsukat, at ang sistematikong pag-aaral ng mga hugis at galaw ng mga pisikal na bagay. Ang praktikal na matematika ay isang aktibidad ng tao mula sa kasing layo ng umiiral na nakasulat na mga tala. Ang pananaliksik na kinakailangan upang malutas ang mga problema sa matematika ay maaaring tumagal ng mga taon o kahit na siglo ng matagal na pagtatanong.
Ang mga mahigpit na argumento ay unang lumitaw sa Griyego matematika, pinaka-kapansin-pansin sa Euclid ng Mga Sangkap . Dahil ang pangunguna ni Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943), at iba pa sa mga sistemang axiomatic noong huling bahagi ng ika-19 na siglo, naging kaugalian na tingnan ang pananaliksik sa matematika bilang pagtataguyod ng katotohanan sa pamamagitan ng mahigpit na pagbawas mula sa angkop na mga axiom na pinili at mga kahulugan. Ang matematika ay binuo sa isang relatibong mabagal na bilis hanggang sa Renaissance, nang ang matematika na mga makabagong pakikipag-ugnay sa mga bagong pang-agham na pagtuklas ay humantong sa isang mabilis na pagtaas sa rate ng mathematical discovery na nagpapatuloy hanggang sa kasalukuyan.
Sinabi ni Galileo Galilei (1564-1642), "Ang uniberso ay hindi mababasa hanggang sa natutunan natin ang wika at maging pamilyar sa mga titik kung saan ito nasusulat. Ito ay nakasulat sa matematiko wika, at ang mga titik ay mga triangles, lupon at iba pang geometrikal ang mga numero, kung wala ito ay nangangahulugang ito ay imposible sa tao na maunawaan ang isang salita. Kung wala ang mga ito, ang isa ay naglalakbay sa isang madilim na labirint. " Ang Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ay tumutukoy sa matematika bilang "Queen of the Sciences". Si Benjamin Peirce (1809-1880) ay tinatawag na matematika "ang agham na kumukuha ng mga kailangang konklusyon". Sinabi ni David Hilbert tungkol sa matematika: "Hindi tayo nagsasalita dito ng arbitrariness sa anumang kahulugan. Matematika ay hindi tulad ng isang laro na ang mga gawain ay tinutukoy sa pamamagitan ng mga arbitrarily stipulated mga patakaran. Sa halip, ito ay isang haka-haka na sistema na may panloob na pangangailangan na maaari lamang walang ibang paraan. " Sinabi ni Albert Einstein (1879-1955) na "hanggang sa ang mga batas ng matematika ay tumutukoy sa katotohanan, hindi sila tiyak, at sa katunayan ng mga ito, hindi nila tinutukoy ang katotohanan."
Matematika ay napakahalaga sa maraming larangan, kabilang ang likas na agham, engineering, medisina, pananalapi at mga agham panlipunan. Inilapat sa matematika ang humantong sa ganap na bagong matematiko disiplina, tulad ng mga istatistika at teorya ng laro. Ang mga mathematician ay nakikipag-ugnayan sa purong matematika, o matematika para sa sarili nitong kapakanan, nang walang anumang pag-iisip. Ang mga praktikal na application para sa kung ano nagsimula bilang purong matematika ay madalas na natuklasan.

Ang pang-araw-araw na buhay sa mga advanced na kultura ngayon ay mahalagang nakadepende sa agham at teknolohiya. Ang matematika ang sumusuporta dito mula sa likuran sa isang lugar na hindi gaanong kapansin-pansin. Halimbawa, ang kuryente, gas, tubig, kalsada, riles, sasakyan, sasakyang panghimpapawid at iba pang sistema ng transportasyon, telepono, telebisyon at iba pang pasilidad ng komunikasyon, mga artipisyal na satellite at kompyuter, na siyang batayan ng buhay sa lungsod, ay idinisenyo lahat nang hindi gumagamit ng matematika. Hindi ito maaaring gawin. Bagama't ang matematika ay nagiging batayan ng buhay kultural, ito ay pinag-aralan bilang isang advanced na disiplina sa sarili nito at patuloy na sumusulong sa pakikipagtulungan ng mga mathematician sa buong mundo. Magbigay tayo ng pangkalahatang-ideya sa ibaba kung anong uri ng kasaysayan ang nilikha ng iskolar na ito at kung anong uri ng karakter ito ngayon.

Pinagmulan ng Mathematics-Greek Mathematics

Sa mga lugar kung saan umunlad ang kultura mula sa sinaunang panahon, tulad ng Egypt, Babylonia, India, at China, ang kaalaman tungkol sa mga numero at numero ay nakuha mula sa mga pangangailangang administratibo, at may mga bakas ng pananaliksik para sa kanilang sariling mga interes. Ipinakita ng mga pag-aaral mula noong 1930s na ang kaalaman ng Babylonian ay partikular na advanced. Gayunpaman, ang matematika bilang isang akademikong disiplina ay unang nilikha sa sinaunang Greece. Ang sinaunang kulturang Griyego ay nagpatuloy mula ikasampung siglo BC hanggang ika-6 na siglo BC, at kumalat sa buong baybayin ng Mediterranean. Mayroon itong mga kultural at pampulitikang zenith sa Plato, panahon ni Aristotle, at panahon ni Alexander the Great noong ika-4 na siglo BC, ayon sa pagkakabanggit. Mayroong maraming mga pangalan sa matematika na nagsisimula sa Thales at Pythagoras noong ika-6 na siglo BC, kung saan ang Euclid (Euclid) at Archimedes noong ika-3 siglo BC ay mahalaga.

Ang pangunahing gawain ni Euclid na "Stoikeia (Orihinal na Teorya)" (Tomo 13) Geometry Tinatawag din itong "Geometry Original" dahil marami itong nilalaman tungkol dito, ngunit tumatalakay din ito sa teorya ng numero at teorya ng tunay na numero, at isang sistematikong compilation ng mga resulta ng Greek mathematics na nakuha sa ngayon. Lumilitaw na ginamit ito tulad ng isang aklat-aralin sa Musaeum Hall of Fame sa Alexandria, ang sentro ng kultura noong panahong iyon, na nag-iiwan ng maraming manuskrito at nagpapanumbalik ng mga teksto na tila halos kumpleto ng mga istoryador sa matematika noong ika-19 na siglo. .. Sa unang pahina ng pambungad na volume, mayroong isang kahulugan tulad ng "mga tuldok ay walang bahagi", na sinusundan ng "kahilingan" (o axiom) at "karaniwang konsepto". Sa kahilingan, <Kung ang isang tuwid na linya ay nag-intersect sa dalawang tuwid na linya at ang kabuuan ng dalawang anggulo na nabuo sa isang gilid ay mas maliit kaysa sa dalawang tamang anggulo, kung ang dalawang tuwid na linya ay pinalawak sa gilid na iyon hangga't maaari, sila ay palaging magsa-intersect . >. Katumbas ito ng proposisyon na mayroon lamang isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa labas ng isang tuwid na linya at kahanay nito (ang tinatawag na parallel postulate), na magiging problema mamaya. Ang karaniwang konsepto ay tinatawag ding pangkalahatang axiom dahil karaniwang tinatanggap ng lahat na "ang ilang mga bagay na katumbas ng parehong bagay ay katumbas ng bawat isa". Sa kabilang banda, dahil ang mga axiom ay nauugnay sa mga geometric na figure, kung minsan ay tinatawag silang mga geometric na axiom, ngunit pareho silang umamin (o humihiling) na pinanghahawakan nila bilang panimulang punto ng teorya. Iyon ay tinatawag na axiom. Ang "Stoikeia" ay nagsisimula lamang sa mga kahulugan at axiom, at sinusubukang buuin ang buong sistema sa pamamagitan ng mahigpit na lohika. Ang higpit nito ay, sa katunayan, medyo may depekto at kalaunan ay nadagdagan, ngunit ngayon na ang inilaan na "malinaw na nakasaad na pundasyon, iyon ay, isang sistemang lohikal na binuo ng mga kahulugan at axioms". Isa rin itong entidad ng matematika sa kahulugan ng. Ang pamamaraan ng "Stoikeia" ay matagal nang naging modelo para sa pangkalahatang iskolarsip.

Kung titingnan ang mga nilalaman ng "Stoikeia", ang Volume 1 hanggang 6 ay tumatalakay sa geometry ng eroplano na may kaugnayan sa mga figure at bilog na tuwid na linya, habang ang Volume 5 ay tumatalakay sa proportional theory (o real number theory). Ang mga volume 7-9 ay teorya ng numero at may kasamang Euclidean algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor at patunay na ang mga prime number ay walang katapusan. Ang Volume 10 ay ang teorya ng pag-uuri ng mga hindi makatwirang numero na nakuha sa pamamagitan ng pagkuha ng square root. Ang mga volume 11 hanggang 13 ay solid geometry at nagtatapos sa isang paglalarawan ng limang uri ng regular na polyhedra. Ang "Stoikeia" ay nagpapatunay na ang haba ng circumference ay proporsyonal sa radius nito at ang lugar ng bilog ay proporsyonal sa parisukat nito, ngunit walang sinabi tungkol sa halaga ng pi. Pinatunayan ni Archimedes na ito ay nasa pagitan ng 31/7 at 310/71. Gayundin, kapag ang segment ng linya na OA na may puntong O bilang isang dulo ay umiikot sa paligid ng O sa isang pare-parehong bilis, ang puntong P na gumagalaw sa isang pare-parehong bilis mula O hanggang A sa OA ay gumuhit ng spiral ng Archimedes. Gayunpaman, ipinapakita din nito na ang lugar na napapalibutan ng thread na OPA at OA na iginuhit sa isang pag-ikot ng segment ng linya ay katumbas ng 1/3 ng lugar ng bilog na ang radius ay OA (Fig.). 1 ). Ang nasabing kinematic na pagsasaalang-alang ay hindi matatagpuan sa "Stoikeia", at ang solusyon ng naturang quadrature na problema ay makikita bilang prototype ng mamaya integral na paraan. Bukod dito, hindi lamang isinasaad ni Archimedes ang resultang ito, ngunit <kapag mayroong dalawang dami a at b , kung ang natural na bilang n ay ginawang sapat na malaki, ang na = a + …… + a ( n beses) ay nagiging mas malaki kaysa sa b >. Ito ay pinatutunayan sa pamamagitan ng paggamit (tinatawag na prinsipyo ni Archimedes). Si Archimedes ay mayroon pa ring mga static o optical na pagtuklas at mga teknikal na imbensyon, ngunit sinabi ni Plutarch na siya mismo ay pinahahalagahan ang higit na teoretikal na pananaliksik. Iyan ang ugali ng mga pagpapahalagang Griyego noong panahong iyon.

Sa Greece, may mga mathematician tulad ni Apollonius ng Pergue, na nang maglaon ay nakipag-usap sa mga conic section, si Ptolemy, na lumikha ng isang table ng sine at inilarawan ang paggalaw ng planeta, at Diophantine, na nagsimulang gumamit ng simbolikong algebra at humarap sa mga problema sa teorya ng numero. . Ang bawat isa ay may epekto sa mga inapo.

Pinagmulan ng Algebra-Arabic Mathematics

Ang Imperyo ng Roma ay itinatag noong ika-1 siglo BC, at ang globo ng kulturang Griyego ay nasa ilalim ng kontrol nito sa pulitika. Ang mga Romano ay pragmatiko at mahusay sa pulitika, militar, at inhinyeriya sibil, ngunit hindi nakahanap ng anumang talino sa matematika. Mula sa ika-7 hanggang ika-12 siglo, umunlad ang kulturang Islam sa Arabia, at minana doon ang agham at kulturang Griyego. Ang mga gawa tulad ng Euclid, Archimedes, at Apollonius ay isinalin din sa Arabic at pinag-aralan. Ang Arabia, sa kabilang banda, ay may hangganan din sa silangang mga bansa. Sa Greece, ang teoretikal na matematika ay sumulong tulad ng inilarawan sa itaas, ngunit ang sistema ng notasyon ay hindi maginhawa, at ang decimal na sistema ay ginamit para sa pamamaraan ng pagkalkula sa mahabang panahon, at ito ay hindi kasing ganda ng India, na alam ang zero na kumakatawan sa bakante . Nagtatrabaho sa Baghdad noong ika-9 na siglo, nagsulat si Hua Lisme ng mga libro sa computational at algebraic equation na naiimpluwensyahan ng Indian mathematics, na naglalarawan kung paano lutasin ang mga linear at quadratic equation. Ang orihinal na salita ng algebra, algebra, ay nagmula sa pamagat ng aklat, at ang algorithm algorithm, na nangangahulugang aritmetika, ay hinango rin sa pangalan ni Huhammad ibn (al ay isang artikulo). Bilang karagdagan, ang ika-12 siglong makata na si Omar Khayyam ay isa ring astronomer at mathematician, na nakikibahagi sa reporma sa kalendaryo at nag-iwan ng aklat ng algebra. Inilalarawan nito kung paano lutasin ang isang cubic equation gamit ang mga intersection ng conic sections. Noong ika-8 siglo, lumaganap ang kulturang Islam mula sa silangang Mediteraneo hanggang Espanya, ngunit mula ika-11 siglo hanggang ika-13 siglo, nag-organisa ang mga Kristiyano ng isang krusada at naglakbay patungong silangan, kung saan naganap din ang pakikipag-ugnayan sa kulturang East-West. Si Fibonacci (Pisa's Leonardo) noong ika-13 siglo, isang mangangalakal na Italyano na naglakbay patungong silangan, ay sumulat ng Liber Abaci (1202), na kinabibilangan ng mga diskarte sa pagkalkula at algebra na isinagawa sa Arabia. Mula noon, nakilala ang algebra sa buong Italya at pagkatapos ay sa buong Europa, at unti-unting umunlad. Sa Italya noong ika-16 na siglo, magagamit din ang mga solusyon sa kubiko at quartic equation. Ang mga numerong Arabe na ginagamit sa buong mundo ngayon ay nagmula sa Indian, ngunit sa oras na iyon sila ay ipinadala sa Europa sa pamamagitan ng Arabia, at pagkatapos ng ilang mga transisyon, sila ay naging kanilang kasalukuyang anyo.

Medieval hanggang maagang modernong matematika

Sa Middle Ages mula ika-5 hanggang ika-15 na siglo sa Kanluran, ang impluwensya ng Kristiyanismo ay malakas, ngunit ang digmaan ay pare-pareho at ang scholarship ay pinananatiling halos eksklusibo sa monasteryo. Pagkatapos ng ika-12 siglo, itinatag ang mga unibersidad sa Bologna, Paris, atbp., kung saan pangunahing pinag-aralan nila ang teolohiya at eskolastiko. Sa natural na agham, natutunan ang mga aklat ni Aristotle at ang unang bahagi ng Euclid. Samantala, kung minsan ang infinity ay isinasaalang-alang, at ipinaliwanag ni R. Bacon ng England na ang matematika ay isang mahalagang disiplina at ang mga eksperimento ay mahalaga sa pag-aaral ng natural na agham. Ito ay isang makabagong ideya noong panahong si Nicole Oresme, ang obispo ng Lisieux, ay nag-graph ng mga pagbabago sa temperatura at nagpakilala ng fractional index. Ang logarithm ay natuklasan noong kalagitnaan ng ika-16 na siglo nina J. Napier ng England at Henry Briggs (1556-1631), na nakipagtulungan din sa kalkulasyon ni Kepler na inilarawan sa bandang huli.

Sa Italya noong ika-13 siglo, ang renaissance momentum ay itinatag ni Dante at ng iba pa, at ang artistikong renaissance ay umabot sa tugatog nito noong ika-15 at ika-16 na siglo. Mula noong ika-14 na siglo, nagkaroon na ng mga imbensyon ng mga nautical compass, pulbura, at mga pamamaraan sa pag-imprenta na sinasabing marka ng pagtatapos ng Middle Ages, at natuklasan ni Columbus ang Bagong Daigdig sa pagtatapos ng ika-15 siglo. Ang mga makina ay ipinakilala sa mga paraan ng produksyon tulad ng pagmimina at paghabi. Si Leonardo da Vinci ay isang henyo sa lahat ng larangan tulad ng pagpipinta, eskultura, at arkitektura, at nagpapakita ng mga pangunguna sa mga ideya sa agham at teknolohiya tulad ng pananaw, abyasyon, at anatomy. Sinimulan ni M. Luther ang reporma sa relihiyon noong 1517. 1943 ang taon kung kailan inihayag ang "On the Revolution of the Sky" ni N. Copernicus at ang "Structure of the Human Body" ni A. Vesalius. Sila ang mga panimulang punto ng modernong astronomiya at anatomy, ayon sa pagkakabanggit, ngunit ang una ay partikular na nauugnay sa matematika.

Sa sinaunang Greece, mayroong geocentric at heliocentric theories upang ipaliwanag ang paggalaw ng mga bituin. Sa parehong mga kaso, tulad ng sinasabi ng paaralan ng Pythagoras, ang celestial sphere ay umiikot sa isang palaging bilis, ngunit sa una, ang sentro ng pag-ikot ay ang mundo at ang araw ay gumagalaw sa paligid nito, habang sa huli, ang mundo ay nakasentro sa araw. . Ito ay dapat na lumipat. Ang una, gaya ng pinagtatalunan ni Aristotle, ay nagsama rin ng isang medyo tumpak na paglalarawan ng paggalaw ni Ptolemy sa planeta. Ito ay naaayon sa pananaw ng Kristiyanismo sa sangkatauhan at itinuturing na isang awtoridad sa buong Middle Ages, ngunit si Aristarchus ng Samos noong ika-3 siglo BC ay kinuha na ang heliocentric na teorya. Si Copernicus ay isinilang sa Poland at nag-aral ng teolohiya, medisina, matematika, astronomiya, atbp. sa isang unibersidad sa Italya, at sa oras na iyon marahil ay narinig niya ang tungkol sa teoryang heliocentric. Matapos bumalik sa kanyang sariling bayan at kumuha ng isang pagkasaserdote at nakikibahagi sa pangangalagang medikal, siya ay naging lubhang interesado sa astronomiya at nakitang mas madaling muling isulat ang paglalarawan ni Ptolemy ayon sa teoryang heliocentric. Ayaw itong ipahayag ni Copernicus dahil labag ito sa awtoridad ng panahong iyon, ngunit ang nabanggit na aklat na inilathala noong taon ding pagkamatay niya ang inirerekomenda ng iba na magsulat. palayan.

Ang libro ay naglalaman din ng mga resulta ng sariling mga obserbasyon ni Copernicus, ngunit ang bilang ay maliit. Sa halip, siya ay isang teorista, ngunit ang Danish na astronomer na si T. Brae ay isang mahusay na eksperimento. Nagpatuloy siya sa paggawa ng pinakatumpak na mga obserbasyon sa astronomiya sa kanyang panahon at naitala ang mga resulta. Si J. Kepler, na may malaking paniniwala sa "Harmony of the World" (1619), ay sinuri ang mga obserbasyon ni Brahe batay sa heliocentric theory at nakuha ang tatlong batas ni Kepler. Ang una at ikalawang batas (1609) ay ang planeta ay naglalakbay sa isang elliptical orbit na ang araw ay isang focal point sa isang pare-parehong bilis ng lugar, at ang ikatlong batas (1619) ay 2 ng orbital period ng planeta. Ang kapangyarihan ay proporsyonal sa kubo ng haba ng pangunahing axis ng orbit. Ang teorya ng conic section ni Apollonius ay ginagamit para sa pagkalkula ng ellipse na lilitaw dito. Ang teoryang ito ay ginawang geometriko nang hindi iniisip na ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa pagpapaliwanag ng mga natural na phenomena, ngunit ito ay epektibong ginamit sa ganitong paraan makalipas ang isang libo at ilang daang taon.

Ito ay kilala na G. Galilei Matindi ang suporta Copernicus at Kepler's heliocentric theory at inilagay sa Inquisition. Nagtalo siya na ang mga natural na agham ay dapat na nakabatay sa eksperimento at matematika, hindi sa awtoridad. Ang kanyang huling aklat, The New Science Lecture (1638), ay partikular na mahalaga dahil ito ay naglalatag ng pundasyon para sa mga bagong mekanika. Si Kep1er at Galilei ay aktibo lamang noong ika-17 siglo. Ang siglong ito ay isang kahanga-hangang panahon sa kasaysayan ng matematika, na kilala rin bilang "Siglo ng mga Bayani".

Ika-17-18 siglong matematika

Nabanggit ko kanina na ang algebra noong ika-16 na siglo ng Italy ay sumulong upang malutas ang mga equation ng cubic at quartic algebra, ngunit ang France ang higit na nagpaunlad nito at naglatag ng pundasyon para sa isang bagong panahon ng algebra. Ito ay F. Viet. Itinaguyod niya ang mga simbolo ng algebraic, lalo na ang mga kilala, at karaniwang inilarawan kung paano lutasin ang mga equation ng algebraic hanggang sa ikaapat na pagkakasunud-sunod. Ito ay mula doon na ang pagbuo ng matematika theory sa pamamagitan ng algebraic kalkulasyon ay nagsimula. Gumamit si P.de Fermat ng mga algebraic na pamamaraan upang bumuo ng teorya ng numero ng Diophantus, upang mahanap ang mga tangent sa mga kurba, upang harapin ang pinakamaliit at pinakamalaking problema, at ilapat ang mga ito sa optika. Sa kanyang round-trip na sulat kasama si B. Pascal, tinalakay niya ang mga isyu na nagpasimuno sa teorya ng posibilidad. Bilang karagdagan sa kanyang mga tagumpay sa conic section theory, hydrostatics, at quadrature na mga problema na may kaugnayan sa cycloids, si Pascal ay kilala rin sa kanyang kamalayan sa mathematical induction. Si Pascal ay isa ring palaisip na kilala sa kanyang pagkapira-piraso sa relihiyon, na iniwan niya sa kanyang mga huling taon.

Ngunit ang pinakadakilang mga numero sa kasaysayan ng matematika at agham ng siglong ito ay dapat na R. Descartes, I. Newton at GW Leibniz.

Si Descartes ay isang pilosopo na naglatag ng mga pundasyon ng modernong rasyonalismo. Isinulat niya ang "Geometry" bilang isa sa mga apendise sa kanyang pangunahing aklat na "Introduction to Methods" (1637), at binigyang-diin ang pagiging kapaki-pakinabang ng pagharap sa mga algebraic curves gamit ang mga coordinate sa isang eroplano sa wikang ngayon. Ang pamamaraang ito ay mahalagang ginamit na ni Apollonios para sa mga conic na seksyon, ngunit sinabi niya ang ideya ng pagsasama ng mga numero at espasyo sa Greek geometry at Viet algebra. Malaki ang impluwensya nito sa matematika mula noon.

Si Newton ay interesado rin sa kimika at teolohiya, na bahagyang dahil sa kanyang makabuluhang kontribusyon sa optika. Principia 》 (1687), makabuluhang bumuo ng Newtonian mechanics, na siyang batayan ng siyentipikong pananaw sa kalikasan pagkatapos noon. Sinabi ni Aristotle na ang bagay na walang puwersa ay nakatigil, ngunit sa katunayan, patuloy itong gumagalaw sa pare-parehong bilis, at si Galilei ang nalaman na ang puwersa ay nagbibigay ng acceleration. Ipinaliwanag ni Galilei ang paggalaw ng nahulog na katawan sa pamamagitan ng katotohanan na ang isang tiyak na gravity ay kumikilos sa bagay sa lupa, ngunit ipinaliwanag din ni Newton ang paggalaw ng planeta sa pamamagitan ng batas ng unibersal na grabitasyon, at ang tatlong batas ng Kepler ay napatunayan sa matematika. Ipinakita nito iyon. Ang acceleration ay ipinahayag bilang isang quadratic derivative ng isang vector na nagpapahayag ng posisyon ng isang bagay bilang isang function ng oras, na katumbas ng pagsasama ng isang second-order differential equation sa wika ngayon. Upang maging posible ang gayong pagpapahayag at malutas ang problema, kailangan munang gumawa ng paraan ng calculus. Sabay ginawa iyon ni Newton.

Si Leibniz ay isang taong nag-ambag sa lahat ng uri ng pag-aaral tulad ng teolohiya, pilosopiya, matematika, at kasaysayan, at nakikibahagi rin sa mga gawaing pampulitika bilang isang diplomat. Sa matematika, binigyang-diin niya ang kahalagahan ng mga palatandaan sa partikular, natuklasan ang pamamaraan ng calculus nang halos kasabay ni Newton, at nagpakilala ng angkop na notasyon. Ang simbolong kaugalian na d / dx at ang integral na simbolo ∫, na ginagamit pa rin hanggang ngayon, ay may utang sa kanya. Siya rin ang nagsimulang gumamit ng salitang function gaya ngayon.

Pinangangasiwaan ang mga function bilang karagdagan sa geometry mula noong Greece, algebra ng Indian-Arabic system Pagsusuri Ipinanganak sa huling kalahati ng ika-17 siglo. Sa susunod na siglo, ang pananaliksik ay magpapatuloy nang maayos at malawak na ilalapat sa iba't ibang larangan ng natural na agham.

Sa simula ng ika-18 siglo, aktibo rin sina Newton at Leibniz. Ang maginhawang simbolikong paraan ng calculus ni Leibniz ay inilapat sa maraming problema ng geometry, mechanics o probability theory sa pakikipagtulungan ng magkakapatid na Bernoulli, at mas binuo ni L. Euler na sumunod sa kanila. Si Euler ay isa sa mga pinaka-prolific na mathematician sa lahat ng panahon, at partikular na sanay sa algebraic calculations. Naging aktibo siya sa lahat ng aspeto ng teorya ng numero, geometry, at mechanics, at nag-ayos ng analytic geometry at analytic mechanics sa anyo na katulad ng makikita sa mga aklat-aralin ngayon. Ang isa sa kanyang mga libro ay pinamagatang "Introduction to Infinite Analysis" (1748). Sa aklat na iyon, ang mga walang katapusang serye na may mga kumplikadong numero bilang mga termino ay ginagamit din, at ang ugnayan sa pagitan ng mga exponential function at trigonometriko function ay nilinaw.

Tulad ng pamilya Bernoulli, ipinanganak si L. Euler sa Basel, Switzerland, ngunit namuhay siya sa Academy sa Berlin at Peterburg sa ilalim ng pagtangkilik ni Frederick the Great ng Germany at Empress Ekacherina ng Russia, na sinasabing mga prinsipe ng Kaimei sa oras na iyon. .. Ang mga kontribusyon sa matematika ng mga taong ito ay may advanced na agham at teknolohiya, at ang pagpapabuti ng mga paraan ng produksyon ay naging kapansin-pansin, at ang mga tao ay nagsimulang magkaroon ng tiwala sa katwiran. Ang ika-18 siglo ay tinatawag ding "Siglo ng Liwanag". Sa France, pagkatapos ng panahon ni Louis XIV, na isang tabak, ay natapos, ang encyclopedic school na pinamumunuan ni J. Dalambert at iba pa ay gumanap ng isang aktibong bahagi, at sa huli ay naabot ang Rebolusyong Pranses noong 1789.

Si PS Laplace ay isang mathematician na nasa tuktok ng pagsusuri sa ika-18 siglo, bagama't palagi siyang nasa mataas na posisyon mula sa katapusan ng maharlikang pamahalaan hanggang sa rebolusyonaryong panahon, sa panahon ng Napoleonic, at sa panahon ng Pagpapanumbalik, at walang disiplina sa politika. Nag-iwan siya ng limang volume, Celestial Mechanics (1799-1825) at Analytical Theory of Probability (1812). Ang una ay isang compilation ng mga teorya ng solar system batay sa Newton, Euler et al., Kasama ang potensyal na teorya, at ang huli ay isang malaking libro kabilang ang Laplace transform theory at generation function theory. Mayroon din siyang enlightenment book na nagpapaliwanag sa mga nilalaman ng parehong libro nang hindi gumagamit ng mga mathematical formula. Ito ay nagpapahayag ng malalim na pagtitiwala sa ideya na ang lahat ng bagay sa mundo ay dapat na matukoy nang mekanikal sa pamamagitan ng mathematical analysis.

Matematika mula noong ika-19 na siglo

Si JL Lagrange ay isang mathematician na kapareho ng edad ni Laplace, na kilala sa kanyang mga aklat gaya ng Analytical Mechanics (1788) at Analytic Function Theory (1797), ngunit sa pagtatapos ng ika-18 siglo ay hindi na siya mahalaga sa matematika. Parang walang ganoong pag-unlad. Gayunpaman, mula sa pagliko ng siglo, ang isang ganap na bagong ugali sa matematika ay nagsimulang lumitaw. Ang isa ay isang kritikal na espiritu at ang isa ay isang oryentasyon sa purong matematika. Sa lipunan, naitatag ang Rebolusyong Industriyal at dumating ang kapitalistang lipunan, at bagaman maraming pagbabago sa pulitika sa France, naitatag ang mga paaralan tulad ng Ecole Polytechnik at Ecole Normal Superior noong Rebolusyong Pranses, at Alemanya. Maaaring naimpluwensyahan ito ng katotohanan na ang isang unibersidad ay maaaring maitatag sa Gettingen at iba pang mga lugar.

Ang diwa ng pagpuna sa awtoridad ay makikita sa Galilei et al. Noong ika-17 siglo, ngunit ang pagsusuri ng ika-17 at ika-18 na siglo ay nakalilito pagdating sa pangunahing lohika. Bagama't ang Principia ni Newton ay isinulat sa anyo ng Stoicia ni Euclid, ito ay kulang sa higpit ng Griyego. Pinuna ito ng mga tao sa parehong panahon, ngunit tila ang pagsusuri sa mga pangunahing kaalaman ay nakalimutan habang ang pagsusuri ay inilapat sa maraming praktikal na mga problema at nakamit ang mga kamangha-manghang resulta. Minsan pinag-usapan nina Euler at Laplace ang kabuuan nang hindi kinukumpirma ang convergence at divergence ng infinite series. Sinasabing nabigla si Laplace nang sabihin ni AL Cauchy sa Academy de Cyance noong unang bahagi ng ika-19 na siglo na "ang isang walang katapusang serye na hindi nagtatagpo ay walang kabuuan" mula sa pananaw ngayon. Noon lamang noong ika-19 na siglo na ibinigay ang mga kahulugan tulad ng continuity, differentiability, at integrability ng mga function.

Ang paghahangad na ito ng mahigpit ay isang manipestasyon ng pagpuna sa panahong ito, ngunit ito ay nakikita rin bilang isang aspeto ng oryentasyon patungo sa purong matematika na hindi ito humahantong sa direktang aplikasyon. Noong ika-18 siglo, halos lahat ng mathematician ay kasangkot sa aplikasyon, at utilitarian view ng matematika dominado, ngunit noong ika-19 na siglo, ang momentum ng "pagbabalik sa Greece" ay nagsimulang makita.

Si CF Gauss ay isang mathematician na nakatayo sa hangganan sa pagitan ng dalawang siglo. Siya ay naging astronomical director ng Unibersidad ng Göttingen, nakikibahagi sa pagmamasid sa kanyang sarili, at gumawa ng mga kahanga-hangang tagumpay sa aplikasyon ng matematika tulad ng astronomy, geodesy, at electromagnetics. Nagbukas din ito ng mga bagong aspeto ng purong matematika, tulad ng paglalatag ng batayan at pagbuo ng teorya ng mga hubog na ibabaw at ang teorya ng potensyal. Sinasabing nagpasya siyang maging isang matematiko sa edad na 19 nang matuklasan niya na ang isang regular na heptadecagon ay maaaring iguguhit gamit ang isang ruler at isang compass. Ang teorya ng numero dahil sina Diophantus at Fermat ay minarkahan ng kanyang "Number Theory Study" (1801). Ang teorya ng numero ay, siyempre, isang larangan ng purong matematika, na tinawag ni Gauss na Reyna ng Matematika.

Si GFB Lehman ang pinakamahalagang mathematician mula sa unang kalahati hanggang sa kalagitnaan ng ika-19 na siglo. Bagama't nag-ambag siya sa teoretikal na pisika tulad ng electromagnetics at thermal conduction theory, inilatag niya ang mga pundasyon para sa complex variable analysis function theory, lalo na ang algebraic function theory, at gumawa ng mahahalagang kontribusyon sa integral theory at triangular number theory. Upang harapin ang problema ng pamamahagi ng numero, na naging isang misteryo sa teorya ng numero, lumikha kami ng isang bagong paraan ng pag-iisip ng zeta function bilang isang function ng mga kumplikadong variable. Sa ganitong paraan, gumawa siya ng mga malikhaing kontribusyon sa maraming larangan ng purong matematika, ngunit ang kanyang inaugural lecture sa Unibersidad ng Göttingen noong 1854, "On the Hypothesis Underlying Geometry," ay partikular na mahalaga.

Bago iyon, ipinagtalo ni Gauss sa kanyang << Surface Theory >> (1827) ang pag-aari na hindi binago ng isometric transformation (transformation na hindi nagbabago sa haba) ng isang sapat na makinis na curved surface, at sa partikular, ang kabuuang curvature ng bawat punto sa curved surface ay ang property na iyon. Ito ay ipinakita na mayroon. Higit pa rito, kung ang isang polygon na may geodesic bilang isang gilid ay iguguhit sa naturang curved surface, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ay ang integral ng kabuuang curvature sa mga punto sa loob nito (Fig.). 2 Sa halimbawa ng, napatunayan na ito ay proporsyonal sa pagkakaiba sa pagitan ng α 1 + …… + α 5 ) at 4 na tamang anggulo. Ang katotohanan na ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng mga tatsulok sa isang eroplano ay dalawang tamang anggulo, ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng mga spherical na tatsulok ay mas malaki kaysa sa dalawang tamang anggulo, at ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ito at ng dalawang tamang anggulo (sobrang spherical na ibabaw) ay proporsyonal sa lugar ng spherical triangle. Ito ay itinuturing na isang espesyal na kaso. Kinuha ni Lehman ang ideya mula sa kaso ng isang two-dimensional na curved surface hanggang sa n -dimensional. Manifold Pinalawak sa kaso ng. Samakatuwid, ang Riemannian manifold ay tinukoy, at ipinakita na ang iba't ibang mga geometry ay maaaring maitatag.

Ang geometry na binuo sa Euclid's Stoikeia ay may awtoridad sa buong Middle Ages at maging isang priori sa pilosopiya ni Kant, ngunit noong ika-19 na siglo ay naging paksa din ito ng kritisismo. .. Sa "Stoikeia", ang axiom ng magkatulad na mga linya ay nakasaad sa isang kumplikadong anyo, at tila iniwasan niya ang paggamit nito hangga't maaari, kaya sinubukan niyang palitan ito ng isa pang proposisyon at subukang kunin ito mula sa iba pang mga proposisyon ng "Stoikeia". Matagal nang ginawa. Ngunit walang nag-alinlangan na ang axiom na ito ay ang katotohanan. Sa isang panahon ng mataas na kritisismo, habang iniisip ang tungkol sa geometry ng mga curved surface, ang Gauss, o sa phenomenon space, ay maaaring hindi lamang magkaroon ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa labas ng isang tuwid na linya at kahanay nito. Nagtaka ako kung ito ang kaso, at nagsimulang mag-aral ng geometry batay sa pagpapalagay na iyon. Hindi niya ito inilathala dahil sa takot sa hindi pagkakaunawaan ng mundo, ngunit inilathala ng kontemporaryong Boyai J. at NI Lobachevsky ang pag-aaral. Sa ilalim ng pagpapalagay sa itaas, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay mas maliit kaysa sa dalawang tamang anggulo, ngunit ipinapakita na ang isang geometry na may maraming pagkakatulad sa spherical geometry ay binuo.Ang geometry na nagpapalagay ng proposisyon na tumatanggi sa parallel postulate ay tinatawag na non-Euclidean geometry, habang ang geometry na nakikita sa "Stoikeia" ay tinatawag na Euclidean geometry. Si Gauss mismo ang aktwal na sumukat ng isang malaking tatsulok at inimbestigahan ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga panloob na anggulo nito at ng dalawang tamang anggulo, ngunit ito ay nasa loob ng margin ng error, at hindi posible na tapusin kung aling geometry ang hawak sa phenomenon space. .. Sa anumang kaso, ang katotohanan na ang non-Euclidean geometry ay nagtataglay sa parehong paraan tulad ng Euclidean geometry ay nagpapawalang-bisa sa ideya na ang mga axiom ay katotohanan. Siyempre, hindi magkatugma ang parallel postulate E at ang itinanggi nito na Ē. Kung ang katotohanan ay hawak nito sa kalawakan ng kababalaghan, dapat nating kumpirmahin kung alin ang katotohanan sa pamamagitan ng pagmamasid. Anong mga konklusyon ang maaaring makuha sa pamamagitan ng pagmamasid ay walang kinalaman sa lohika na likas sa geometry. Kung ang A ay ang axiom ng Euclidean geometry na hindi kasama ang axiom ng mga parallel na linya, ang katotohanan na ang parehong mga geometries ay nagtataglay na alinman sa A at E o A at Ē ay hindi naglalaman ng mga kontradiksyon. ibig sabihin. Upang linawin ang kahulugan nito, kailangan nating linawin ang mga nilalaman ng A sa itaas, na kailangan ding maghintay para sa mga mathematician noong ika-19 na siglo. Ito ay dahil ang Euclid's Stoicia ay naglalaman ng maraming lohikal na mga bahid at ang puntong iyon ay hindi nilinaw. Ang The Foundations of Geometry (1899) ni D. Hilbert ay ganap na hinati ang mga axiom ng Euclidean geometry sa limang grupo at sinisiyasat ang mga lohikal na relasyon sa pagitan nila. Sa unang pagkakataon, ang Stoikeia ay inihanda ayon sa nilalayon, at mula sa nakasaad na mga pagpapalagay, ito ay muling ginawa bilang isang sistema na binuo ng mahigpit na lohika.

Upang mapanatili ang ganitong sistema, kailangan muna itong maging pare-pareho. Ang katotohanan na ang parehong Euclidean geometry at non-Euclidean geometry ay nangangahulugang ang (A, E) at (A, Ē) ay pare-pareho. Ang pagkakapare-pareho ng (A, Ē) ay nakumpirma dahil ito ay ipinakita ni A. Cary, F. Klein, H. Poincaré et al. Na ang modelo ay nilikha sa (A, E). Higit pang gumamit si Hilbert ng mga tunay na numero upang lumikha ng isang modelo kung saan ang mga proposisyon ng (A, E) ay hawak, at ipinakita ang pagkakapare-pareho ng (A, E). Ang teorya ng tunay na mga numero ay inilarawan na sa Volume 5 ng Stoikeia, ngunit ito ay gawa ng ika-19 na siglong mathematician na sina K. Wirestrass, R. Dedekind, at G. Cantor na nakakumpleto nito. Ang real number theory ay binawasan nila sa natural number theory, ngunit Dedekind at G. Peano axiomically constructed natural number theory gamit ang ideya ng mga set at mapa. Ang mga set theories sa pangkalahatan ay unang isinasaalang-alang ng Cantor, ngunit ipinakita na kung sila ay tratuhin nang masyadong walang muwang, ang mga kontradiksyon ay magaganap, at sina E. Zermelo at A. Frenkel ay nag-set up ng mga axiom upang maiwasan ang mga ito. Batay doon, bumuo siya ng set theory.

Sa International Congress of Mathematicians sa Paris noong 1900, itinaas ni Hilbert ang 23 mga problemang pangmatematika na dapat maging paksa ng pananaliksik sa siglong ito, isa rito ay upang ipakita ang pagkakapare-pareho ng aritmetika (ibig sabihin, natural number theory). palayan. Siya Mga pundasyon ng matematika Ang layunin ay upang ipakita ang pagkakapare-pareho ng lahat ng matematika na nagsisimula sa set theory. Bagama't hindi pa ito nakakamit ng isang kasiya-siyang solusyon ngayon, ang larangan ay umunlad sa iba't ibang direksyon kaugnay nito.

Kung paanong nakatayo si Gauss sa hangganan sa pagitan ng ika-18 at ika-19 na siglo, si Hilbert ay isang matematiko sa pagitan ng ika-19 at ika-20 siglo. Dahil minadali kong linawin ang katangian ng matematika sa aytem na ito, ang talakayan ay nagpatuloy sa simula ng ika-20 siglo nang hindi tinatalakay ang mga nagawa ng maraming mathematician noong ika-19 na siglo. Sa pag-unlad ng mga panahon, ang pag-unlad ng matematika ay pinabilis, at ang dami ng mga papeles sa matematika na nai-publish sa pagitan ng 1950 at ngayon sa loob ng humigit-kumulang 30 taon ay ang kabuuang halaga ng mga tagumpay sa matematika na inilathala mula sa panahon ng Griyego hanggang sa mga 1950. Sinasabing ito ay maihahambing sa . Samakatuwid, ang paglalarawan pagkatapos ng ika-19 na siglo ay kailangang gawing simple, ngunit dagdagan natin ang isa o dalawang bagay na may kaugnayan sa algebra at pagsusuri.

Sa algebra, ang mga algebraic equation hanggang sa ikaapat na order ay nalutas sa mga quartic equation sa Italy noong ika-16 na siglo, ngunit maraming mga mathematician na pagtatangka na makakuha ng mga katulad na solusyon para sa ikalima at mas mataas na mga order ay walang saysay. ginawa. Pinatunayan ni NH Abel na imposible iyon noong 1826, at É. Natagpuan ni Galois ang koneksyon sa pagitan ng problemang ito at ng permutation group ng mga ugat ng equation, at itinatag ang tinatawag na "Galois theory". Mula noon, lumitaw ang teorya ng grupo bilang unang dibisyon ng abstract algebra. Ang kasunod na algebra ay hindi lamang isang algebraic technique, ngunit isang larangan ng pag-aaral ng mga algebraic system, iyon ay, ang istraktura ng mga set na may mga algorithm na tinukoy ng mga simpleng axiom. Kasunod ng grupo, ang mga algebraic system tulad ng mga singsing at field ay ang mga paksa ng pananaliksik.

Sa larangan ng pagsusuri, ang pagtatatag ng pangunahing konsepto tulad ng inilarawan sa itaas ay isang katangiang tagumpay ng panahong ito, ngunit mayroon ding pag-unlad ng klasikal na pagsusuri mula noong ika-18 siglo. Ang JBJ Fourier ay nauugnay sa teorya ng pagpapadaloy ng init at ipinakilala ang seryeng Fourier, ngunit ang tanong kung anong function ang kinakatawan ng seryeng iyon ay nag-udyok ng seryosong pagmuni-muni sa konsepto ng function. Ito ay isang magandang halimbawa ng mahahalagang pag-unlad ng purong matematika mula sa mga inilapat na problema sa matematika. Ang teorya ng elliptic function ay unang kinuha bilang isang klasikal na problema, at sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, nakumpleto ang analytic function theory ng isang-variable complex variable. Si Gauss ay isa ring pioneer sa direksyong iyon, at ang mga kontribusyon nina Abel, CG Jacobi, Cauchy, Wirestrass, Lehman at iba pa ay makabuluhan. Ang pagpapalawak nito sa multivariable case ay ipinakilala noong ika-20 siglo. Nakikita bilang isang geometric na representasyon ng multivariable algebraic function theory Algebraic geometry Aktibong nag-aral sa Italya sa huling kalahati ng ika-19 na siglo, ngunit kulang sa higpit. Ang pagbuo nito ay isa ring isyu para sa ika-20 siglo. Ang mga differential equation ay ang mga pangunahing tauhan ng inilapat na matematika mula noong ika-17 siglo, at Euler et al. Nalutas din ang ilang uri ng mga PDE, ngunit noong ika-19 na siglo Cauchy et al. Ang teorya ay dumating upang harapin. Ang "Fundamental Theorem" ni S. Kovalevskaya sa huli ay nai-publish noong 1875.

Makabagong matematika

Sa simula ng ika-20 siglo, ang kalikasan ng matematika ay halos malinaw at ang pag-unlad nito ay bumibilis. Ang mga kasunod na pahayag ay dapat panatilihing mas pangkalahatan, ngunit narito ang isang maikling talakayan ng isyu ni Hilbert noong 1900 at ang kanyang mga nagawa.

Sa mga problema ni Hilbert, mayroon ding mga set theory problem (tinatawag na continuum problem) at ang mga nabanggit na pundasyon ng mga problema sa matematika. Ang ilan ay hindi malinaw na nakasaad, tulad ng axiomization ng bawat departamento ng physics, at hindi posibleng malinaw na sabihin kung gaano ang mga ito ay nalutas. Gayunpaman, ang lahat ng mga problema ay masigasig na pinag-aralan sa interes ng mga mathematician. Halos kalahati sa kanila ay naresolba na at naging mainit na paksa sa akademya sa bawat pagkakataon. Maraming mga Japanese mathematician nang direkta at hindi direktang nag-aambag sa solusyon. Sa partikular, dalawang bagay na nauugnay sa teorya ng numero ang nalutas ng teorya ng larangan ng klase na iminungkahi ni Teiji Takagi (1920).

Nagsimula si Hilbert mula sa pag-aaral ng invariant na teorya sa algebra, pagkatapos ay lumipat sa mga pundasyon ng geometry, pagkatapos ay teorya ng numero, integral equation theory, potensyal na teorya, atbp., at sa kanyang mga huling taon ay inilaan niya ang kanyang sarili sa mga pundasyon ng matematika. Kaugnay ng teorya ng integral equation, itinatag niya ang tinatawag na Hilbert space theory. Ito ay isang extension ng Euclidean space sa walang katapusang mga sukat at inilalapat sa iba't ibang larangan ng pagsusuri.

Ang Europa noong 1920s ay pulitikal na hindi matatag sa panahon ng dalawang digmaan, ngunit sa Unibersidad ng Göttingen sa Alemanya sa ilalim ng pamahalaan ng Weimar, si E. Nater, kasama si Hilbert, ay aktibo sa pag-aaral ng abstract algebra. Ito ay naging sentro. Sa paligid ng parehong oras, mayroong S. Banach et al. Sa Poland, at ang phase mathematics (topology) ay aktibong pinag-aralan. Inilapat ni Banach ang linear operator theory ng Banach space, na isang extension ng Hilbert space, sa mga problema sa pagsusuri. Ang pamamaraan ng pag-aaral ng pagsusuri gamit ang topological mathematics at algebra ay tinawag na "topological analysis" sa Japan noong panahong iyon, ngunit pagkatapos nito, tinawag itong "functional analysis" ayon sa terminong ginamit sa buong mundo. palayan.

Mula noong 1930s, si Bourbaki, isang pangkat ng mga Pranses na matematiko, ay nagsimulang magsulat ng The Principles of Mathematics. Simula sa set theory, sinusubukan nitong ilarawan ang lahat ng matematika batay sa algebra at topology, kung sabihin, isang modernong bersyon ng Stoicia ni Euclid. Hindi ito nakumpleto ngayon, ngunit ang mga pangunahing kaalaman ay nakumpleto at ang kasalukuyang mathematical descriptive form ay halos pinag-isa sa istilong iyon. Sa pamamaraang iyon, ang matematika ngayon ay sumusulong sa mga bagong larangan sa pamamagitan ng pagharap sa mga klasikal at umuusbong na mga problema na nanatili mula noong ika-18 at ika-19 na siglo.

Partikular na kapansin-pansin sa pag-unlad sa huling kalahati ng ika-20 siglo ay ang pag-aaral ng mga manifold. Noong 1913, tinukoy ni H. Weil ang isang one-dimensional complex analysis manifold nang mahigpit sa pag-aaral ng Lehman plane, ngunit ito ay inspirasyon ng kahulugan ng multidimensional real o complex manifold na may differential structure, isang analysis structure, atbp. Ang teorya na may masaganang nilalaman ay binuo. Mula sa pananaw na iyon, ang differential geometry, Lee group theory, at differential form theory ay muling isinulat, at ang larangang ito ay gumagawa ng mahusay na mga hakbang. Kasabay nito, lumalalim ang mutual linkage sa pagitan ng differential equation theory, dynamical system theory, at differential geometry.

Ang functional analysis ay pangunahing naglalayon sa mga linear na problema sa unang kalahati ng ika-20 siglo, ngunit sa kasalukuyan, ang pananaliksik sa mga nonlinear na problema ay aktibo, at ang mga variational na pamamaraan at probability theory ay kasama rin sa framework. Malaki rin ang epekto ng pagpapalawak ng functional concept nina L. Schwartz at Mikio Sato. Napansin din na, mula sa isang ganap na naiibang pananaw sa mga pundasyon ng matematika, pinalawak ni A. Robinson ang konsepto ng mga tunay na numero upang ipakita na ang pagsusuri ay maaaring mabuo nang hindi umaasa sa mga operasyon ng limitasyon. Ang pagsusuri sa pamamaraang iyon ay tinatawag na hindi pamantayang pagsusuri sa Japan.

Hanggang sa ika-18 siglo, hinawakan niya ang ugnayan ng matematika at ng mga natural na agham, ngunit pagkatapos ng ika-19 na siglo, ang pangunahing layunin ay linawin ang katangian ng purong matematika, kaya't ang ugnayan sa ibang larangan ay naging mahina. Dadagdagan ko ito sa ibaba. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang larangan ng matematika ay isang sistema na binubuo ng mahigpit na lohika mula sa premise na tinukoy bilang isang axiom, at una sa lahat, dapat itong pare-pareho. Gayunpaman, upang mapukaw ng pananaliksik ang interes ng akademya at pag-unlad, hindi lamang pare-pareho ang sistema ng axiomatic, ngunit ang pag-unlad ng sistema ay karapat-dapat sa aesthetic na pagpapahalaga, at ang mga resulta ay kapaki-pakinabang sa ilang kahulugan. Aasahan. Euclidean geometry, complex variable analytic function theory, o group theory lahat ay nakamit ang inaasahan. Ang "kapaki-pakinabang" ay hindi nangangahulugang praktikal, ngunit ang isang teorya na nilikha na may kamalayan sa paggamit nito sa iba pang mga larangan, tulad ng teorya ng serye ng Fourier, ay maaaring pasiglahin ang purong teorya at umunlad nang hindi inaasahan. , Ang naisip bilang isang purong magandang sistema ay maaaring makahanap ng mahahalagang aplikasyon sa ibang pagkakataon. Nabanggit ko kanina na ang teorya ng conic section ay ginamit para sa Kepler, ngunit noong ika-20 siglo lamang ginamit ang geometry ng Riemannian at Hilbert space theory upang ilarawan ang pangkalahatang relativity at quantum theory, ayon sa pagkakabanggit. maging.

Ang teorya ng matematika bilang isang purong lohikal na sistema ay maaaring ilapat sa anumang bagay, kaya ang saklaw ng aplikasyon ay naging mas malawak. Ang teorya ng grupo at teorya ng larangan ng abstract algebra ay ginagamit sa disenyo ng mga eksperimentong disenyo. Ang teorya ng probabilidad ay naka-link sa mga istatistika upang bumuo ng hinuha at inilalapat din sa kontrol ng kalidad. Ang paraan ng mga pundasyon ng matematika ay ginagamit sa disenyo ng software ng computer. Hindi lamang ang mga natural na agham, kundi pati na rin ang mga relasyon sa mga humanidades at agham panlipunan, ang matematika sa ika-20 siglo ay nagiging mas malawak at mas malalim. Totoo na ang matematika, tulad ng ibang mga agham, ay nagiging mas dalubhasa, ngunit ang pakikiisa sa lipunan ay lumalalim at inaasahang patuloy na lalago.
Shokichi Iyanaga + Kiyoshi Ito

Isang pangkalahatang kataga para sa mga akademikong nag-aaral ng mga numero at numero. Ang aritmetika bilang elementarya matematika, algebra (karaniwan ay Indya, na binuo sa wikang Arabo), pagkatapos ng geometry (Euclid ay ang paghantong ng Griyego) nakita ang isang prima facie kumpleto, analytic geometry ng ika-17 siglo Descartes, Newton, ng calculus ni Leibniz Modern mathematics na binuo ni ang simula. Ang mga pag-aaral ng mga function na nagsisimula sa calculus ay nauugnay sa application sa physics at iba pa, mabilis silang pinalawak at tinatawag na analytics . Ang pagmuni-muni sa likas na katangian ng mga axiom sa tagapagtatag ng di-Euclidean geometry ay idinagdag sa ika-19 na siglo, ang pananaw ng doktrinang axiom ay nagpapakahulugan ng matematika ng mga axiom at ang <assumption bilang isang saligan ng teorya> ay itinatag. Sa modernong matematika, abstract algebra mathematics at phase matematika batay sa set teorya ay ang pangunahing dibisyon, ang paksa ay maaaring maging anumang bagay bilang nilalaman, hindi limitado sa mga numero at numero, at ang hanay ng application ay iba pang kalikasan Ito ay unting pagkalat hindi lamang sa mga patlang ng agham kundi pati na rin sa agham ng impormasyon at agham panlipunan.
→ Mga kaugnay na topology topology | teorya ng function | aritmetika