kurbada

english curvature

buod

  • ang ari-arian na nagmamay ari ng curving ng isang linya o ibabaw
  • ang rate ng pagbabago (sa isang punto) ng anggulo sa pagitan ng isang curve at isang padaplis sa curve
  • isang curving o baluktot; kadalasang abnormal
    • kurbada ng gulugod

Pangkalahatang-ideya

Sa matematika, ang kurbada ay alinman sa isang bilang ng mga kaugnay na konsepto ng maluwag sa iba't ibang mga lugar ng geometry. Intuitively, curvature ay ang halaga kung saan ang isang geometric na bagay tulad ng isang ibabaw ay lumihis mula sa pagiging isang patag na eroplano, o isang curve mula sa pagiging tuwid tulad ng sa kaso ng isang linya, ngunit ito ay tinukoy sa iba't ibang mga paraan depende sa konteksto. Mayroong pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng extrinsic curvature , na tinukoy para sa mga bagay na naka-embed sa ibang espasyo (karaniwang isang Euclidean na espasyo) - sa isang paraan na may kaugnayan sa radius ng curvature ng mga bilog na humahawak sa bagay - at intrinsic curvature , na tinukoy sa mga tuntunin ng haba ng mga alon sa loob ng isang Riemannian sari-sari.
Ang artikulong ito ay pangunahing nakabatay sa mga panlabas na kurbada. Ang kanonikal na halimbawa nito ay ang isang bilog, na may kurbada na katumbas ng kapalit ng radius nito sa lahat ng dako. Ang mas maliit na mga lupong liko nang masakit, at samakatuwid ay may mas mataas na kurbada. Ang kurbada ng isang makinis na curve ay tinukoy bilang curvature ng osculating nito bilog sa bawat punto.
Ang curvature ay karaniwan na isang sukat ng skalar, ngunit maaaring isa ring tukuyin ang isang curvature vector na isinasaalang-alang ang direksyon ng liko bilang karagdagan sa magnitude nito. Ang kurbada ng mas kumplikadong mga bagay (tulad ng mga ibabaw o kahit na liko n- dimensional na mga puwang) ay inilarawan ng mas kumplikadong mga bagay mula sa linear algebra, tulad ng pangkalahatang Riemann curvature tensor.
Ang artikulong ito ay gumuhit ng balangkas ng matematika na naglalarawan ng kurbada ng isang curve na naka-embed sa isang eroplano at ang kurbada ng isang ibabaw sa espasyo ng Euclidean.

Isang dami na nagpapahayag ng antas ng baluktot ng isang curve o hubog na ibabaw. Una, isaalang-alang ang kaso ng isang curve sa isang eroplano. Ang curve C upang ipakita ang parametric na may haba ng arc , ay kumakatawan sa punto ng haba ng arc s sa P (s). Bilang karagdagan, ang bawat tangent ng C ay naglalagay ng positibong direksyon ng parehong direksyon tulad ng (direksyon ng paggalaw ng P (s) kapag tumataas) ng curve. Ngayon, upang ayusin ang s, ang puntong P mula sa tangential direksyon ng pagsasara ng P sa (mga) P (s + ⊿ s) ⊿θ ang anggulo ng pag-ikot ng hanggang sa tangent ng direksyon sa (radian), ang ratio ⊿θ / ⊿ Isipin ang s (pigura 1 ). Ang hangganan ng ratio na ito kapag ang approaches s papalapit sa 0 ay tinatawag na kurbada ng C sa P. Kapag ito ay ipinahayag ng k , ρ = 1 / | k | ay tinatawag na radius ng kurbada. Nakasalalay sa pag-sign ng k , ang C ay nakayuko sa kaliwa o pakanan malapit sa P habang tumataas ang s, at mas malaki ang ρ, mas unti-unting liko ang (Larawan.). 2 ). Dalawang puntos sa P at malapit sa C Q, ang bilog na dumadaan sa R, Q, ang intrinsic na bilog kapag malapit sa P sa kahabaan ng R hanggang C C ng pag-osculating na bilog na osculating na bilog sa P. Ang pakikipag-ugnay na ito sa P na lihim sa C sa P , sa parehong bahagi ng C na may paggalang sa tangent nito, ay isang bilog na mayroong ρ ang radius (Larawan 2 ). Para sa kadahilanang ito, ang bilog ng osculating ay tinatawag ding bilog ng kurbada, at ang gitna nito ay tinatawag na gitna ng kurbada. Ang kurbada ay katulad na tinukoy para sa mga curve sa kalawakan. Gayunman, dahil walang code itinalaga sa ang anggulo ng pag-ikot sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ng orientation sa espasyo, ⊿Shita sa kahulugan ng kurbada at ⊿ s ang anggulo sa pagitan ng tangents sa P (s) at P (s + ⊿ s) Ito ay ipinapalagay na mayroon silang parehong code. Samakatuwid, sa space curve, k ≧ 0. Ang kahulugan ng osculating circle ay mayroon ding kahulugan para sa spatial curve, ang radius na kung saan ay ang katumbasan ng curvature. Susunod, isaalang-alang ang kaso ng isang hubog na ibabaw. Larawan 3 Hayaang ang S ay isang hubog na ibabaw at ang P ay isang punto sa itaas nito. Isaalang-alang ang lahat ng eroplano na naglalaman ng (tuwid na linya na intersecting patayo sa S sa P) normal sa S sa P, ang kurbada ng curve na pinutol ng S ng mga eroplano na ito (≧ 0), ang curve na patungkol sa isang normal na direksyon ng linya Idagdag positibo at negatibong mga palatandaan depende sa kung ito ay malukot o matambok. Ang mga maximum at minimum na halagang ito ay tinatawag na pangunahing kurbada ng S at P , ang kanilang ibig sabihin ng arithmetic ay tinatawag na mean curvature, at ang produkto ng mga ito ay tinatawag na Gaussian curvature o kabuuang curvature. Kung positibo ang kabuuang kurbada, ang puntong malapit sa P ay nasa isang bahagi ng tangent na eroplano, at kung ang kabuuang kurbada ay negatibo , malapit sa P at ang baluktot na ibabaw ay nasa hugis ng isang saddle ng kabayo. Kapag ang kabuuang kurbada ay 0 sa lahat ng mga punto sa hubog na ibabaw, ang hubog na ibabaw na ito ay maaaring mapalawak sa isang eroplano nang walang paglawak at pag-ikli.
Minoru Naooka

Halaga na kumakatawan sa antas ng curve o curvature na baluktot. (1) Hayaan ang haba ng arko ng curve mula sa isang punto P sa curve ng eroplano papunta sa malapit na punto Q, at hayaan ang Δθ (radian) na ang anggulo na nabuo ng tangent ng curve sa P at ang padaplis ng ang curve sa Q. Q Ay malapit sa kawalang-hanggan, ang limitasyon na halaga na ang ratio Δθ / Δs tumatagal ay tinatawag na curvature. Kapag ito ay kinakatawan ng κ, ρ = 1 / | κ | ay tinatawag na radius ng curvature, at ang curve curve ay banayad habang ang ρ ay mas malaki. Ang isang bilog na nakikipag-ugnayan sa curve na ito sa punto P at ang radius ay katumbas ng radius ng curvature at sa parehong panig ng curve na may paggalang sa pangkaraniwang tangent ay tinatawag na curvature circle ng curve na ito sa point P at ang center nito ay tinatawag na sentro ng kurbada. Gayundin, kahit na ang kurbada ay maaaring tinukoy para sa curves sa espasyo, dahil ang sign na nabuo sa pamamagitan ng dalawang mga linya ng padaplis ay hindi maaaring naka-sign, | Δθ / Δs | Isinasaalang-alang. (2) Sa isang hubog ibabaw isaalang-alang ito bilang kurbada sa isang punto P sa itaas nito. Ang isang hubog na ibabaw ay pinutol ng isang eroplano kabilang ang isang normal at isang curvature radius sa isang punto P ng isang curve cut ay itinakda bilang R. Kung ang orientation ng eroplano ay iba-iba, R din ang mga pagbabago, ang pagkuha ng maximum na halaga R 1 at ang minimum halaga R 2 . 1 / R 1 , 1 / R 2 ay ang pangunahing kundisyon, (1 / R 1 + 1 / R 2 ) / 2 ay ang average curvature, 1 / R 1 R 2 ay ang kabuuang kurbada o ang curve ng Gauss.
→ Mga kaugnay na item Clothoid | Sarado ang condensation line