grupo

Isinasaalang-alang ang itinakdang P ng lahat ng mga positibong numero, nasiyahan ang mga sumusunod na apat na kundisyon. (1) Kung ang a at b ay mga elemento ng P , natutukoy ang produktong a × b , at ang a × b ay elemento din ng P. (2) Ang kaakibat na batas, iyon ay, ( a × b ) × c = a × ( b × c ) humahawak. (3) 1 x a = a x 1 = a (mayroon ang elemento ng pagkakakilanlan 1). (4) a × a ⁻ ¹ ＝ a ⁻ ¹ × a ＝ 1 (mayroong isang baligtad na elemento ng ^{⁻ 1).}

Sa pangkalahatan, hindi limitado sa bilang ng pagpaparami, ang isang operasyon sa isang hanay na G (ang bilang ng pantulong, tulad ng pagbubuo ng pagmamapa) ay tinukoy, kapag natutugunan nito ang apat na kundisyon tulad ng nasa itaas, ang G ay isang pangkat Mayroong. Sa kongkretong mga halimbawa, maaaring mayroong iba't ibang mga simbolo para sa mga pagpapatakbo tulad ng ×, +, at ◦, kaya kung sa pangkalahatan ay kinakatawan ng *, ang kahulugan ay nakasaad sa mga sumusunod.

May isang tinukoy solong pagkalkula * ang set G, lalo, (1) ang isang, kung b ay G orihinal at tiyak ay isang * b, a G dating, karagdagang mga sumusunod na tatlong kundisyon (2) - Kapag (4) ay nasiyahan, G ay sinasabing bubuo ng isang pangkat na patungkol sa operasyong ito *. (2) Ang kaakibat na batas, iyon ay, ( a * b ) * c = a * ( b * c ) humahawak. (3) Mayroong isang angkop na mapagkukunan e, kahit na para sa orihinal na a sa G lalamunan, at e * a = a * e = a. Ang e na ito ay tinawag na elemento ng pagkakakilanlan ng G. (4) Para sa bawat elemento a ng G, isang * b = b * a = e maging tulad ng orihinal na b ay naroroon. Ito b na ang kabaligtaran ng a.

Ang pagkalkula ng isang oras na tinutukoy bilang additive bilang simbolo ng arithmetic na karaniwang gumagamit ng a + ay kumakatawan sa kaso ng pagkakaisa sa 0, tinukoy bilang isang zero, pati na rin ang kabaligtaran ng a - ipinahayag sa isang, tinukoy ito bilang isang negatibong a.

Kapag ang isang operasyon ay tinawag na pagpaparami, karaniwan na ang pagpapaikli ng simbolo ng pagpapatakbo (a * b ay ab ) o paggamit ·, at ang elemento ng pagkakakilanlan ay madalas na kinakatawan ng 1. kabaligtaran ng a ay kinakatawan ng isang ⁻ ^1.

Sa kaso ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero, ang kundisyon (5) na batas ng commutative, iyon ay, nasiyahan ang isang * b = b * a. Sa ganitong kaso Pangkatang commutative O tinawag na isang grupong abelian. Mula ngayon, sa seksyong ito, ang mga simbolo para sa pagpapatakbo ng pangkat ay aalisin, at ang produkto ay isusulat bilang ab .

Mga pangkat na simetriko (bilang isang halimbawa ng pagbubuo ng mga pangkat ayon sa mga pagpapatakbo na naiiba mula sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero Pangkat ng pagpapalit ), Ngunit hayaan mo akong magbigay sa iyo ng isang simpleng halimbawa maliban doon.

Isaalang-alang ang kaso kung saan ang isang board na maaaring makilala ang harap at likod ay inilalagay sa talahanayan. Ang operasyon ng pag-turn over sa plate ay isang, sinusubukan na huwag gumawa ng anumang bagay sa e. Isinasaalang-alang ang aa kung saan ang isang ay paulit-ulit na dalawang beses, bumalik ito sa orihinal na estado, kaya aa = e . Pagkatapos, dalawang elemento lamang , a at e, ang bumubuo ng isang pangkat. Sa ngayon, hindi ko naisip ang tungkol sa oryentasyon ng board nang ilagay ko lamang ito sa harap at likod ng board, ngunit kung iisipin ko ang parehong operasyon na nasa isip ang oryentasyon, maaaring mabuo ang isang medyo kumplikadong grupo.

Sa pagsisikap na makahanap ng mga solusyon sa mga equation ng degree 5 at pataas, sinuri nina JL Lagrange at Vandermonde Alexis Théophile Vandermonde (1735-96) ang mga solusyon para sa mga cubic at quaternary na kaso sa paligid ng 1770, at natagpuan ang mga ugat sa pagbabalangkas ng ugat. Nakatuon kami sa kung gaano magkakaiba ang mga halaga kapag ginawa ang mga kahalili. Humigit-kumulang kalahating siglo ang lumipas, isinulong ng NH Abel at Evariste ang ideyang iyon, at unang nilulutas ni algebraically ang mga polynomial (simula sa mga coefficients at nakuha ng mga quintic equation at operasyon na nagmumula). At ipinakita na ang ilang pangkalahatang quintic polynomial ay hindi malulutas sa algebraically. Nagpunta pa si Galois at isinasaalang-alang ang isang pangkat ng mga polynomial (ang grupo ng Galois sa wika ngayon), at tinukoy din ang nakaugat na patlang at mga tagapamagitan, at naipaliwanag ang ugnayan sa pagitan ng istraktura ng grupo ng Galois at ng mga tagapamagitan. .. Si Galois din ang tumutukoy sa normal na subgroup na inilarawan sa paglaon, at ang pag-aaral na ito ng Galois ay masasabing simula ng teorya ng pangkat. Ang teorya ng Galois ay ipinakilala nang detalyado sa libro ni C. Jordan na inilathala noong 1870. Ang pangkat na nakipag-usap namin ay ang grupo ng permutasyon ng mga ugat ng isang equation, at pagkatapos ay nakipag-usap si AL Cauchy sa mas pangkalahatang grupo ng permutasyon, ngunit ang kahulugan ng abstract na nabanggit sa ang simula ay Cayley Arthur Cayley (sa kaso ng mga may hangganan na grupo). ) At si L. Kronecker (pangkalahatan). Nang maabot namin ang konsepto ng mga abstract na pangkat sa ganitong paraan, lumitaw ang ugnayan sa pagitan ng mga grupo at geometry, na nilinaw ng sikat na Erlangen Program ni F. Klein. Simula noon, ang konsepto ng mga pangkat ay naging napaka-batayan sa maraming mga lugar ng matematika, hindi lamang ang algebra at geometry. Nalalapat din ito sa pag-uuri ng mga kristal sa kristal na taludtod at mekanika ng kabuuan. Ilagay ang yugto sa pangkat Pangkat na pangkasalukuyan Mayroon ding isang malawak na hanay ng mga application. Maraming mga mahahalagang pangkat na masasabi na mayroong mga pangkat depende sa larangan ng aplikasyon, at marami sa kanila Lie group Kasama sa tinatawag.

Tukuyin natin ang pangkat ng Galois ng equation x ⁶ -2 = 0. Kung ang isa sa mga haka-haka na ugat ng kubo ng 1 ay −ω, −ω ang ika-6 na ugat ng 1, at ang 6 na ugat ng equation sa itaas ay ± ⁶ \ (\ sqrt {2} \), ± ω ⁶ \ (\ sqrt). {2} \), ± ω ^{2 6} \ (\ sqrt {2} \). Ang orihinal na φ ng pangkat Galois G ay hindi isang permutasyon ng 6 na ugat nang nakapag-iisa, ngunit kung ito ay itinuturing na angkop bilang isang sistema ng mga numero, ang ⁶ \ (\ sqrt {2} \) at ω ay makopya sa (dating) . Isa sa 6 na ugat, at ang huli ay ω o ω ² ), natutukoy din ang patutunguhan ng iba pang mga ugat.type="inline"/> (Tulad ng 00416302). Kaya σ, τ,sa 00416401,

σ, σ ² , σ ³ , σ ⁴ , σ ⁵ , σ ⁶ = 1

τσ, τσ ² , τσ ³ , τσ ⁴ , τσ ⁵ , τ

Ang 12 elemento ng ay magkakaibang elemento ng G. ^{Dahil ang 6} \ (\ sqrt {2} \) ay may 6 na patutunguhan at ang ω ay may 2 patutunguhan, ang elemento ng G ay hindi maaaring higit sa 6 × 2 = 12, kaya ang nasa itaas na 12 elemento ay Galois. Gumawa ng isang pangkat. Sa pangkat na ito, ^{bilang karagdagan sa σ 6} = 1, τ ² = 1, τστ = σ ⁵ = σ⁻ ¹ (τστ ay ω → ω, ⁶ \ (\ sqrt {2} \) → －ω ^{2 6} \ (\ ) Dahil kinopya ito bilang sqrt {2} \)).

Mayroong isang konsepto ng isang solvable group (inilarawan sa paglaon), ngunit upang ang isang equation ay malutas sa algebraically, ito ay isang kinakailangan at sapat na kundisyon na ang grupong Galois ay isang nalulutas na pangkat.

Alam na mayroong isang anggulo θ na hindi mahahati sa tatlong pantay na bahagi na may nag-iisa at isang kumpas.type="inline"/> Magagamit ang pangkat ng Galois na 00416702. Sa kasong iyon, posible na gumuhit kapag ang bilang ng mga elemento ng pangkat ng Galois ay dalawa o mas kaunti. Halimbawa, kahit na θ = 60 °, ang bilang ng mga elemento ng pangkat ng Galois ay anim. Sa ganitong paraan, ang pangkat ng Galois ay may mga application maliban sa paglutas ng mga equation.

Halimbawa, sa pangkat P na ginagawa ang lahat ng positibong numero para sa pagpaparami, kung kukunin natin ang buong bilang H sa anyo ng 3 ^m 5 ⁿ ( m , n ay mga integer), ito ay H ⊂ P , at ang H lamang ay nagiging isang pangkat . ing Samakatuwid, kapag ang isang subset na K ng isang pangkat G ay isang pangkat din nang mag-isa, ang K ay sinasabing isang subgroup ng G. Ang halimbawang H na ito ay sinasabing isang subgroup na nabuo ng 3 at 5 sa diwa na ito ay ang pinakamaliit na subgroup kabilang ang 3 at 5, at madalas na kinakatawan ng <3, 5>. Ang isang pangkat ay nabuo sa ilalim ng ^{isang <a> = {an} | n = 0, ± 1, ± 2, ......} at ang siklikong pangkat na nabuo ng a. Sa pangkalahatan, binigyan ng isang subgroup K ng pangkat G , kung ang a at b ∈ G ay may isang karaniwang elemento sa pagitan ng Ka = { ka | k ∈ K } at Kb = { kb | k ∈ K }, pagkatapos ay Ka = Kb . Isinasaalang-alang ang buong hanay ng Ka form, hinahati namin ang G sa pagsasama ng mga subset na walang karaniwang elemento. Ang ka, kanang culo modulo K ("kanan", dahil ang isang kaukulang masyadong inilipat ng K orihinal ay nasa kanang bahagi) o ang kaliwang K coset ("kaliwa" ay dahil sa K ay nasa kaliwang bahagi) Iyon ay. Ang isang subset ng form aK na may kaliwa at kanang baligtad ay nalalaman din, ngunit kapag ang pagkakaiba sa pagitan ng kaliwa at kanan ay hindi kinakailangan, iyon ay, kapag ang < k ∈ K at isang ∈ G, kung gayon ang isang ⁻ ¹ ka ∈ K > ay nagtataglay . Ang K ay sinasabing isang normal na subgroup ng G , at ang bawat Ka ay tinatawag na coset modulo K. Para sa lahat ng mga coset, isang bagong pangkat ang nilikha sa pamamagitan ng pagtukoy sa pagpaparami bilang (Ka ) ( Kb ) = Kab. Ang pangkat na ito ay tinawag na perpektong pangkat ng klase at kinatawan ng G / K. Ang sitwasyon ay ang buong integer Z ay isang pangkat na may paggalang sa karagdagan, ang buong nZ na isang maramihang isang integer n ay isang subgroup, at bawat coset ay isang pangkat ng mga na nahahati sa n at may parehong natitira. Kung iisipin mo ito, makakatulong ito sa iyo na maunawaan.

Kapag ang H at K ay mga subgroup ng pangkat G, ang pinakamaliit na subgroup na naglalaman ng {h ⁻ ¹ k ⁻ ¹ hk | Ang h ∈ H , k ∈ K } ay tinawag na commutator group ng H at K, at [ H , K ]. Hayaan ang [H, H ] na ipahayag bilang D ( H). Kapag ang G = G _{0 ay nakatakda} at ang G _{i + 1} = D ( G _i ) ay nakatakda, G = G ₀ ⊇ G ₁ ⊇ …… ⊇ G _n ⊇ ……, ngunit ang _{G n} ay ang elemento ng pagkakakilanlan sa isang tiyak na n. Kapag naging ito lamang, ang G ay sinasabing isang solvable na pangkat. Pareho ito kahit na may mga haligi ng mga subgroup tulad ng sumusunod. _{G = H 0 ⊃ H 1 ⊃} ...... ⊃ H m = {pagkakaisa}, ang bawat _{H i (i = 1,2, ......} , n) ay H _{i - 1} ng normal na subgroup, H _{i - 1} / H _i ay isang abelian grupo.

Ang kondisyong malulutas ang equation algebraically ay napangalanan dahil ang grupong Galois ay may ganitong pag-aari.

Kapag ang H ay isang subgroup ng pangkat G , ang bilang ng mga tamang coset Ha (isinasaalang-alang ang mga walang katapusang kaso) na magkakaiba sa bawat isa ay tinatawag na exponent ng H sa G. Kinakatawan ito ng [ G : H ], ( G / H), atbp Ito ay pareho kahit na ito ay tinukoy ng kaliwang coset. Tinawag ng orihinal na bilang ng G ang pagkakasunud-sunod ng G | G |, kinakatawan ng naturang ♯ (G). Kapag ito ay may hangganan, ito ay tinatawag na isang may hangganang pangkat. Ang elemento ng mga G, paikot grupo na nalikha sa pamamagitan ng isang isang-sunod ng mga <a> na ng pagkakasunud-sunod ng a. Kailan | G | ay may hangganan, ang bawat Ha ay binubuo ng parehong bilang ng mga elemento tulad ng H , kaya | G | = [ G : H ] × | H | ay nakuha, at ang pagkakasunud-sunod at tagapagtaguyod ng subgroup na Ha ay G. Ito ay lumalabas na ito ay isang tagahati ng utos.

Kapag walang normal na subgroup ng pangkat G bukod sa G at {elementong pagkakakilanlan}, sinasabing ang G ay isang simpleng pangkat. Kapag n ≧ 5, ang nth- order alternating pangkat ( Pangkat ng pagpapalit ) Ay isang simpleng pangkat. Kaugnay ito sa katotohanang ang mga equation ng degree 5 at mas mataas sa pangkalahatan ay hindi malulutas ng algebraically. Sa ika-n na order ng espesyal na linear na pangkat G sa patlang K, ang buong scalar matrix N ay isang normal na subgroup, kaya maaari nating maiisip ang G / N. Kapag ang n ≥ 2, ang G / N ay isang simpleng grupo maliban sa dalawang kaso ( n = 2 at ang elemento ng K ay 2 o 3).

Sa pangkat G , Z = { x ∈ G | para sa anumang y ∈ G , xy = yx } ay isang normal na subgroup. Tinawag itong sentro ng G. Sa kaso ng nabanggit na espesyal na linear na pangkat na G , ang N ang sentro.

Kapag ang pagkakasunud-sunod ng may wakas na pangkat G ay ang kapangyarihan p ^e ng punong numero p , sinasabing G ang p pangkat . Kung e ≥ 1, ang pagkakasunud-sunod ng gitna ng G ay p ^m ( m ≥ 1). Samakatuwid, mayroong sumusunod na pagkakasunud-sunod ng subgroup. _{{Unity} = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂} ...... ⊂ Z s = G, bawat i = 1,2, ......, para sa _{s, Z i / Z i -} 1 ay G / Z _{i - 1} gitna. Samakatuwid, ang pangkat p ay isang malulutas na pangkat.

Upang suriin ang isang pangkat G , sa isa pang pangkat H Homomorphism Isinasaalang-alang ang φ, maaaring maging kapaki-pakinabang upang siyasatin ang ^{φ nuclei φ⁻ 1} (1) = { x ∈ G | φ ( x ) = 1 (elemento ng pagkakakilanlan)} at φ ( G). Ang pagsasaalang-alang sa gayong φ at H ay tinatawag na pagpapahayag ng G. Nakaugalian para sa H na maging isang linear na pangkat, at ang teorya ng representasyon ng isang pangkat ay karaniwang nangangahulugang teorya ng naturang representasyon. Ang mga representasyon ng permutasyon ay mga halimbawa ng iba pang mga uri ng representasyon. Ang H ay isang subgroup ng pangkat G00416801, para sa bawat g ∈ G , n nagtatakda ng isang ₁ H , ……, permutasyon sa isang _n H,

isang ₁ H a ₂ H …… a _n H

ga ₁ H ga ₂ H …… ga _n H

Sa pamamagitan ng pakikipag- ugnay sa, isang homomorphism mula sa G hanggang sa nth order symmetric group ay nakuha.

Sa mga tuntunin ng pagtukoy ng posisyon ng regular na n polygon F, ang pag- convert ng F sa pamamagitan ng pag-ikot at pitik na bahagi ng F hanggang F ay pinaikot ay n, n na piraso ng pagbubuo ng pag-ikot sa loob, ang pangkat na binubuo ng kabuuang 2 n na mga piraso ng orihinal na lumikha . Ang nasabing pangkat ay tinatawag na isang pangkat na dihedral. Ang mga regular na polyhedron ay may kasamang mga regular na tetrahedron, regular na hexahedron (iyon ay, cubes), regular na octahedrons, regular na dodecahedrons, at mga regular na icosahedron. Pagpasyahan ang posisyon ng positibong n tetrahedron K, sa pag-ikot sa paligid ng gitna ng K, isang pangkat na gumawa ng buong bagay ay hindi nagbabago sa posisyon ng K na tinawag na n tetrahedral group, ay sama-sama na tinukoy sa kanila, ang regular na pangkat na polyhedron. Ang pangkat ng tetrahedral ay isomorphic sa quaternary alternating group at may pagkakasunud-sunod na 12. Ang hexahedral group, octahedral group, at quaternary symmetric group ay isomorphic at may isang order na 24. Ang icosahedron group, dihedral group, at quintic alternating group ay isomorphic at magkaroon ng order na 60.
Masayoshi Nagata