అనంత శ్రేణి

english infinite series

అవలోకనం

గణితంలో, ఒక శ్రేణి , సుమారుగా చెప్పాలంటే, ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిమాణానికి అనంతమైన అనేక పరిమాణాలను ఒకదాని తరువాత ఒకటి జోడించే ఆపరేషన్ యొక్క వర్ణన. సిరీస్ అధ్యయనం కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రధాన భాగం మరియు దాని సాధారణీకరణ, గణిత విశ్లేషణ. ఉత్పాదక విధుల ద్వారా పరిమిత నిర్మాణాలను (కాంబినేటరిక్స్ వంటివి) అధ్యయనం చేయడానికి కూడా గణితంలోని చాలా రంగాలలో సిరీస్ ఉపయోగించబడుతుంది. గణితంలో వారి సర్వవ్యాప్తితో పాటు, భౌతికశాస్త్రం, కంప్యూటర్ సైన్స్, గణాంకాలు మరియు ఫైనాన్స్ వంటి ఇతర పరిమాణాత్మక విభాగాలలో కూడా అనంత శ్రేణులు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి.
చాలా కాలంగా, అటువంటి అనంతమైన సమ్మషన్ పరిమిత ఫలితాన్ని ఇవ్వగలదనే ఆలోచనను గణిత శాస్త్రవేత్తలు మరియు తత్వవేత్తలు విరుద్ధంగా భావించారు. పారడాక్స్ 19 వ శతాబ్దంలో పరిమితి అనే భావనను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడింది. అకిలెస్ మరియు తాబేలు యొక్క జెనో యొక్క పారడాక్స్ అనంతమైన మొత్తాల యొక్క ఈ ప్రతికూల ఆస్తిని వివరిస్తుంది: అకిలెస్ ఒక తాబేలు తర్వాత నడుస్తుంది, కానీ అతను రేసు ప్రారంభంలో తాబేలు యొక్క స్థానానికి చేరుకున్నప్పుడు, తాబేలు రెండవ స్థానానికి చేరుకుంది; అతను ఈ రెండవ స్థానానికి చేరుకున్నప్పుడు, తాబేలు మూడవ స్థానంలో ఉంది, మరియు. అకిలెస్ ఎప్పుడూ తాబేలును చేరుకోలేడని, అందువల్ల ఆ ఉద్యమం ఉనికిలో లేదని జెనో తేల్చిచెప్పాడు. జెనో రేసును అనంతమైన అనేక ఉప-రేసులుగా విభజించాడు, ఒక్కొక్కటి పరిమిత సమయం అవసరం, తద్వారా అకిలెస్ తాబేలును పట్టుకునే మొత్తం సమయం సిరీస్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. పారడాక్స్ యొక్క తీర్మానం ఏమిటంటే, ఈ శ్రేణికి అనంతమైన పదాలు ఉన్నప్పటికీ, దీనికి పరిమితమైన మొత్తం ఉంది, ఇది అకిలెస్ తాబేలును పట్టుకోవడానికి అవసరమైన సమయాన్ని ఇస్తుంది.
ఆధునిక పరిభాషలో, ఏదైనా (ఆదేశించిన) అనంతమైన క్రమం (a 1, a 2, a 3,…) {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) terms నిబంధనలు (అంటే సంఖ్యలు, విధులు లేదా జోడించగల ఏదైనా) ఒక శ్రేణిని నిర్వచిస్తుంది, ఇది ai \ \ displaystyle a_ {i}} ఒకదాని తరువాత ఒకటి జోడించే ఆపరేషన్. అనంతమైన పదాలు ఉన్నాయని నొక్కి చెప్పడానికి, ఒక శ్రేణిని అనంత శ్రేణి అని పిలుస్తారు. అటువంటి శ్రేణి వంటి వ్యక్తీకరణ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది (లేదా సూచించబడుతుంది)
వీరి సంఖ్య శ్రేణి అనంతంగా ఉంటుంది. సాధారణంగా 1 + a 2 + a 3 + ... లేదా లేదా (సమీకరణం 1) గా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. పాక్షిక మొత్తం (సమీకరణం 2) చేత ఏర్పడిన S 1 , S 2 , S 3 , ... క్రమం కలుస్తున్నప్పుడు, ఈ అనంత శ్రేణి కలుస్తుంది మరియు పరిమితి విలువ (సమీకరణం 3) మొత్తాన్ని అంటారు. S (/ n) క్రమం కలుసుకోనప్పుడు అది భిన్నంగా ఉంటుంది. పరిమిత సంఖ్యలో పదాలు అనంత శ్రేణికి జోడించినా లేదా తీసివేయబడినప్పటికీ, కన్వర్జెన్స్ / డైవర్జెన్స్ యొక్క స్వభావం మారదు. → కన్వర్జెన్స్ సిరీస్
సంబంధిత అంశం | గుండ్రంగా | గ్రెగొరీ | హార్మొనీ సిరీస్