విశ్లేషణ

బీజగణితం మరియు జ్యామితితో పాటు గణితంలో ప్రధాన విభాగాలలో విశ్లేషణ ఒకటి. 17 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో R. డెస్కార్టెస్, సింబాలిక్ అంకగణితాన్ని అస్పష్టంగా విశ్లేషణ అని పిలుస్తారు. అందువల్ల, 17 వ శతాబ్దం చివరలో I. న్యూటన్ మరియు GW లీబ్నిజ్ కనుగొన్న అవకలన సమైక్య పద్ధతిని అనంతమైన విశ్లేషణ అని కూడా పిలుస్తారు. ప్రస్తుతం, గణిత రంగాన్ని, దీని ప్రధాన విషయం అనంతం యొక్క పరిమితి భావనను సమిష్టిగా విశ్లేషణాత్మక శాస్త్రం అంటారు.

న్యూటన్ మరియు లీబ్నిట్జ్ కనుగొన్న అవకలన సమైక్యత పద్ధతి 19 వ శతాబ్దంలో ఎ. కౌచీ చేత మొదట నిర్వహించబడింది. అతని రెండు పుస్తకాలు (1821 మరియు 23) విపరీత భావన ఆధారంగా విశ్లేషణల యొక్క ప్రాథమికాలను వివరిస్తాయి, కాలిక్యులస్ నుండి ఆ సమయం వరకు ఒక సాధారణ సింబాలిక్ ఆపరేషన్‌గా మారుతాయి. జపాన్లోని మొదటి సంవత్సరం విశ్వవిద్యాలయంలో కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రస్తుత కోర్సు దాదాపు కౌచీ చేత నిర్వహించబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, వేరియబుల్స్ మరియు ఫంక్షన్ల నిర్వచనం, అనంత శ్రేణి యొక్క కొనసాగింపు, కన్వర్జెన్స్ మరియు డైవర్జెన్స్, డెరివేటివ్స్ మరియు ఇంటిగ్రల్స్ యొక్క నిర్వచనం, సగటు విలువల సిద్ధాంతం మొదలైనవి వివరించబడ్డాయి. నేటి దృక్కోణం నుండి పాక్షికంగా సరిపోని అనేక భాగాలు ఉన్నప్పటికీ, అవి అప్పటి వరకు ఉన్న లోపాలతో పోలిస్తే చెప్పుకోదగిన స్థాయిలో కఠినంగా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

19 వ శతాబ్దం మధ్యలో, కౌచీ, జి. లెమాన్, కె. వైర్‌స్ట్రాస్ మొదలైనవారు ఒకవైపు కాలిక్యులస్ అభివృద్ధి చేశారు, సంక్లిష్ట వేరియబుల్స్ యొక్క విధులను అధ్యయనం చేయడానికి విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం దిశలో సాధారణీకరించారు. కాబట్టి, విశ్లేషణల యొక్క ప్రాథమిక భావనలను స్థాపించడం మరియు మెరుగుపరచడం ద్వారా, నిజమైన వేరియబుల్ ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం యొక్క క్షేత్రం సృష్టించబడింది. పూర్వ క్షేత్రాన్ని కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్ థియరీ లేదా ఫంక్షన్ థియరీ అంటారు, మరియు రెండోదాన్ని రియల్ ఫంక్షన్ థియరీ అంటారు. నిజమైన ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం యొక్క దిశ J. ఫోరియర్ యొక్క ఉష్ణ ప్రసరణపై ప్రసిద్ధ కాగితం (1812) లో కనిపించిన ఫోరియర్ సిరీస్ అని పిలవబడేది. అంటే, పి. డిరిచ్లెట్ ఫోరియర్ సిరీస్ (1829, 37) పై రెండు పేపర్లలో ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధునిక నిర్వచనాన్ని స్థాపించాడు, కాని తరువాత రీమాన్ సమగ్ర (1854) యొక్క సాధారణ నిర్వచనాన్ని స్థాపించాడు, మరియు జి. కాంటర్ ఫోరియర్ సిరీస్ ఒకటి అని తెలుస్తోంది అహేతుక సంఖ్య సిద్ధాంతం మరియు సెట్ సిద్ధాంతం (1872) యొక్క సృష్టి కోసం ప్రోత్సాహకాలు. అదనంగా, 20 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో, హెచ్. లెబెస్గు అతని పేరు మీద కొలత అనే భావనను ప్రవేశపెట్టాడు మరియు దాని ఆధారంగా లెబెస్గు సమగ్ర సిద్ధాంతాన్ని స్థాపించాడు. రియల్ ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం లెబెస్గు ఇంటిగ్రేషన్ సిద్ధాంతంతో కేంద్రంగా అభివృద్ధి చెందింది, మరియు ఫోరియర్ సిరీస్ మరియు ఫోరియర్ విశ్లేషణలలో చాలా గొప్ప ఫలితాలు పొందబడ్డాయి, కాని తరువాత వివరించిన ఫంక్షనల్ విశ్లేషణలో లెబ్యూ ఇంటిగ్రేషన్ సిద్ధాంతం ప్రాథమిక పాత్ర పోషిస్తుంది మరియు ఇది లేదు ఇది ఒక సిద్ధాంతం పూర్తి.

తెలియని ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కలిగిన సమీకరణాన్ని తెలియని సాధారణ సమీకరణంతో పోలిస్తే అవకలన సమీకరణం అంటారు. న్యూటన్ యొక్క చలన సమీకరణం రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, కాబట్టి సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ చట్టం కారణంగా గ్రహాల కదలిక కూడా రెండవ-ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఈ విధంగా, ప్రకృతి యొక్క అనేక నియమాలు అవకలన సమీకరణాల ద్వారా వివరించబడ్డాయి, కాబట్టి అవకలన సమీకరణ సిద్ధాంతం కాలిక్యులస్ వలె స్థాపించబడింది. న్యూటన్ ఈ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించాడు, మరియు 18 వ శతాబ్దం మొదటి భాగంలో, వ్యక్తిగత పద్ధతుల ద్వారా వ్యక్తిగత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాధాన్యత ఇవ్వబడింది (క్వాడ్రేచర్ పద్ధతి), కానీ 18 వ శతాబ్దం చివరి భాగంలో, అనంత శ్రేణుల పరిష్కారాలను అధ్యయనం చేశారు. ఇది జరిగింది. అదనంగా, కౌచీ పరిష్కారాల ఉనికి సమస్యను అధ్యయనం చేసినప్పటి నుండి (1820), సైద్ధాంతిక పరిశోధన అభివృద్ధి చెందింది.

తెలియని ఫంక్షన్ల యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలతో సహా సమీకరణాలు, అనగా పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు మొదట J. D'Alembert మరియు L. యూలర్ చేత ద్రవ డైనమిక్స్‌కు సంబంధించిన శారీరక సమస్యలను పరిష్కరించడంలో అధ్యయనం చేయబడ్డాయి మరియు పరిష్కారం యొక్క ఉనికి సిద్ధాంతం S. చే ప్రచురించబడింది. కోవెలెవ్స్కాయ (1875). భౌతిక సమస్యలకు సంబంధించి, సరిహద్దు విలువ సమస్యలు మరియు రెండవ-ఆర్డర్ సరళ పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల యొక్క ప్రారంభ విలువ సమస్యలు ప్రధానంగా 19 వ శతాబ్దం వరకు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి మరియు 20 వ శతాబ్దంలోకి ప్రవేశించిన తరువాత, క్రియాత్మక విశ్లేషణ పద్ధతులను వర్తింపజేయడం ద్వారా, అధ్యయనంలో కనిపించే నాన్-లీనియర్ సమస్యలు జిగట ద్రవాలు మరియు క్వాంటం మెకానిక్స్లో ష్రోయిడింగర్ సమీకరణంపై పరిశోధనలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రంలో పడే ద్రవ్యరాశి యొక్క ఆకారం మరియు పతనం సమయం (1823) మధ్య సంబంధాన్ని ఎన్. అబెల్ చర్చించారు. పతనం సమయం మరియు పథం యొక్క ప్రారంభ మరియు ముగింపు పాయింట్లు మరియు పథాన్ని సూచించే ఫంక్షన్ తెలియని ఫంక్షన్ అని uming హిస్తే, పొందవలసిన సమస్య తెలియని ఫంక్షన్ యొక్క ఏకీకరణ మరియు దాని మిశ్రమ పనితీరుతో సహా ఒక సమీకరణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఇటువంటి సమీకరణాన్ని సమగ్ర సమీకరణం అంటారు. అలాగే, వైవిధ్యమైన పద్దతి ఏమిటంటే, పేర్కొన్న సరిహద్దు పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే ఫంక్షన్లలో సంబంధిత వాస్తవ విలువను తగ్గించే ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం, పథం యొక్క రెండు ముగింపు పాయింట్లను ఇవ్వడం ద్వారా పతనం సమయాన్ని తగ్గించే సమస్య. . 19 వ శతాబ్దం నుండి వ్యక్తిగత రకాల సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సమగ్ర సమీకరణాలు మరియు వైవిధ్య పద్ధతులు విస్తృతంగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి, అయితే ఏకీకృత సిద్ధాంతాలు 20 వ శతాబ్దంలో స్థాపించబడ్డాయి. పరిశోధన యొక్క అంశంగా మారింది.

20 వ శతాబ్దంలో స్థాపించబడిన ఫంక్షనల్ అనాలిసిస్ యొక్క లక్షణం వ్యక్తిగత ఫంక్షన్లను అధ్యయనం చేయడమే కాదు, ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిని ఒక స్థలం (ఫంక్షన్ స్పేస్) గా సంతృప్తిపరిచే ఫంక్షన్ల సమితిని పరిగణించడం. ఇది వెక్టర్ అంకగణితం మరియు కన్వర్జెన్స్ యొక్క భావనలతో వ్యవహరిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, భేదం మరియు సమైక్యత వంటి కార్యకలాపాలు ఫంక్షన్ స్థలంలోని పాయింట్ల నుండి ఫంక్షన్ స్థలంలోని పాయింట్లకు మ్యాపింగ్‌గా పరిగణించబడతాయి మరియు సాధారణంగా వీటిని ఆపరేటర్లు అంటారు. క్రియాత్మక విశ్లేషణలో, ఆపరేటర్లు పరిశోధన యొక్క ప్రధాన విషయం, కానీ సాధారణ సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి మరియు ప్రత్యేకంగా నిర్వహించబడే అనేక ఉపయోగకరమైన ఫంక్షన్ స్థలాలను నిర్మించడానికి లెబెస్గు ఇంటిగ్రేషన్ ఉపయోగించబడుతుంది. లెబెస్గు ఇంటిగ్రేషన్‌లో, వివిధ పరిమితి కార్యకలాపాలు చాలా సరళమైన పరిస్థితులలో నిర్వహించబడతాయి మరియు దీనిని ఉపయోగించి నిర్మించిన ఫంక్షన్ స్థలం పూర్తి మెట్రిక్ స్థలంగా మారుతుందనే దాని ఉపయోగానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. . క్రియాత్మక విశ్లేషణ యొక్క మొదటి సాధన డి. హిల్బర్ట్ యొక్క కాగితాల సేకరణ (1912), ఇందులో సమగ్ర సమీకరణాలపై ఫ్రెడ్హోమ్ సిద్ధాంతం యొక్క సంగ్రహణ ఉంది, తరువాత ఎస్. బనాచ్ తన పుస్తకం “లీనియర్ ఆపరేటర్ థియరీ” (1932) లో ఉన్నారు. ఫీల్డ్ యొక్క పునాది వేశారు. ఇప్పటికీ ముఖ్యమైన పరిశోధనా విషయంగా ఉన్న హిల్బర్ట్ స్థలం మరియు బనాచ్ స్థలం పేర్లు ఈ ఇద్దరు వ్యక్తుల మార్గదర్శక పనిపై ఆధారపడి ఉన్నాయి. ఇంకా, 20 వ శతాబ్దం మధ్యలో ఎల్. స్క్వార్ట్జ్ సృష్టించిన సూపర్ ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం కారణంగా పాక్షిక అవకలన సమీకరణాల అనువర్తనం గణనీయమైన పురోగతిని సాధించింది.

పైన వివరించినట్లుగా, కాలిక్యులస్‌తో సహా విశ్లేషణతో సహా విస్తృత రంగాలు ఉన్నాయి, తరువాత అవకలన సమీకరణాలు, సమగ్ర సమీకరణాలు, వైవిధ్య పద్ధతులు, రియల్ ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ ఫంక్షన్ సిద్ధాంతం మరియు క్రియాత్మక విశ్లేషణ.
కియోజో ఇటో