கணித தர்க்கம்

english mathematical logic

சுருக்கம்

  • நிலைத்தன்மை மற்றும் செல்லுபடியாகும் சுருக்க அளவுகோல்களை நிறுவுவதற்காக அவற்றின் உள்ளடக்கத்திலிருந்து அறிக்கைகளின் வடிவத்தை சுருக்கிக் கொள்ளும் எந்த தருக்க அமைப்பும்

கண்ணோட்டம்

கணித தர்க்கம் என்பது கணிதத்தின் முறையான தர்க்கத்தின் பயன்பாடுகளை ஆராயும் கணிதத்தின் துணைத் துறையாகும். இது மெட்டாமாதேமிக்ஸ், கணிதத்தின் அடித்தளங்கள் மற்றும் தத்துவார்த்த கணினி அறிவியல் ஆகியவற்றுடன் நெருங்கிய தொடர்புகளைக் கொண்டுள்ளது. கணித தர்க்கத்தில் ஒன்றிணைக்கும் கருப்பொருள்கள் முறையான அமைப்புகளின் வெளிப்பாட்டு சக்தி மற்றும் முறையான ஆதார அமைப்புகளின் துப்பறியும் சக்தி பற்றிய ஆய்வு ஆகியவை அடங்கும்.
கணித தர்க்கம் பெரும்பாலும் தொகுப்புக் கோட்பாடு, மாதிரி கோட்பாடு, மறுநிகழ்வு கோட்பாடு மற்றும் ஆதாரக் கோட்பாடு ஆகிய துறைகளாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இந்த பகுதிகள் தர்க்கத்தின் அடிப்படை முடிவுகளைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன, குறிப்பாக முதல்-வரிசை தர்க்கம் மற்றும் உறுதியானது. கணினி அறிவியலில் (குறிப்பாக ACM வகைப்பாட்டில்) கணித தர்க்கம் இந்த கட்டுரையில் விவரிக்கப்படாத கூடுதல் தலைப்புகளை உள்ளடக்கியது; கணினி அறிவியலில் தர்க்கத்தைப் பார்க்கவும்.
அதன் தொடக்கத்திலிருந்து, கணித தர்க்கம் இரண்டும் கணிதத்தின் அஸ்திவாரங்களின் ஆய்வுக்கு பங்களிப்பு செய்தன, ஊக்கப்படுத்தின. இந்த ஆய்வு 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் வடிவியல், எண்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வுக்கான அச்சு கட்டமைப்பின் வளர்ச்சியுடன் தொடங்கியது. 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில், அடித்தளக் கோட்பாடுகளின் நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்க டேவிட் ஹில்பெர்ட்டின் திட்டத்தால் இது வடிவமைக்கப்பட்டது. கர்ட் கோடெல், ஹெகார்ட் ஜென்ட்சென் மற்றும் பிறரின் முடிவுகள் திட்டத்திற்கு ஓரளவு தீர்மானத்தை வழங்கின, மேலும் நிலைத்தன்மையை நிரூபிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களை தெளிவுபடுத்தின. செட் கோட்பாட்டின் வேலை, கிட்டத்தட்ட அனைத்து சாதாரண கணிதங்களையும் செட் அடிப்படையில் முறைப்படுத்த முடியும் என்பதைக் காட்டியது, இருப்பினும் சில கோட்பாடுகள் உள்ளன, இருப்பினும் செட் கோட்பாட்டிற்கான பொதுவான ஆக்சியம் அமைப்புகளில் நிரூபிக்க முடியாது. கணிதத்தின் அஸ்திவாரங்களில் சமகால பணிகள் பெரும்பாலும் கணிதத்தின் எந்த பகுதிகளை குறிப்பிட்ட முறையான அமைப்புகளில் (தலைகீழ் கணிதத்தைப் போல) முறைப்படுத்த முடியும் என்பதை நிறுவுவதில் கவனம் செலுத்துகின்றன.

இன்று, நவீன தர்க்கத்திற்கு கிட்டத்தட்ட ஒத்த ஒரு சொல். பாரம்பரிய அரிஸ்டாட்டில் பாணி கிளாசிக்கல் தர்க்கத்துடன் ஒப்பிடும்போது செயற்கை அறிகுறிகளின் அதிகப்படியான பயன்பாடு காரணமாக இது அழைக்கப்பட்டது. நவீன தர்க்கத்தின் ஸ்தாபகர்கள், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் தயாரிக்கப்பட்டவை, சில நேரங்களில் கணித தர்க்கம் அல்லது கணித தர்க்கம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவர்கள் தர்க்கத்தை ஒழுங்கமைக்க முயன்றனர், குறிப்பாக கணிதத்தை ஒரு மாதிரியாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம். இருப்பினும், வார்த்தையின் தோற்றத்தைப் பொருட்படுத்தாமல், ஒரு பெரிய அளவிலான அறிகுறிகளை ஏற்றுக்கொள்வதும், தர்க்கரீதியான சிந்தனை மற்றும் கணித சிந்தனையின் அடையாளத்தை அங்கீகரிப்பதும் நவீன தர்க்கத்தை ஆதரிக்கும் அடிப்படைக் கருத்துக்கள்.

மாறி குறித்தல்

கிளாசிக்கல் தர்க்கத்துடன் ஒப்பிடும்போது நவீன தர்க்கத்தின் பண்புகள் மற்றொரு அம்சத்திலிருந்து பின்வருமாறு சுட்டிக்காட்டப்படலாம். முதலாவதாக, தர்க்கத்திற்குத் தேவைப்படும் முறையான தன்மை, அதாவது, பொதுவான சிந்தனை விதி, மாறி அடையாளங்களை ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம் தெளிவுபடுத்தப்பட்டது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கான்கிரீட் உள்ளடக்கத்தை சுருக்கிக் கொள்வதன் விளைவாக வெளிப்படும் சிந்தனையின் முறையானது இந்த முறையால் மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்பட முடியும். அதே சமயம், இந்த சூழ்நிலைகளுக்கு மாறிகள் கொண்ட பொதுவான வடிவத்தை (மொழியியல் வெளிப்பாடு) வெளிப்படுத்துவதன் மூலம் ஒரே கட்டமைப்பைக் கொண்ட தொடர்ச்சியான சூழ்நிலைகளை ஆளவும் முடியும். ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்குகிறேன். ஜப்பானிய வாக்கியம்,

<சாக்ரடீஸ் ஒரு தத்துவஞானி என்றால், சாக்ரடீஸ் ஒரு மனிதர்>

<உருவம் A ஒரு முக்கோணம் என்றால், A இன் உள் கோணங்களின் தொகை இரண்டு வலது கோணங்கள்>

<இலைகள் மூழ்கினால், கற்கள் மிதக்கும்>

மனித சிந்தனையின் முடிவுகளை வெளிப்படுத்தும் வாக்கியங்களாக (முன்மொழிவுகளாக) கருதலாம், ஆனால் அவை அனைத்திற்கும் பொதுவான வடிவம், எடுத்துக்காட்டாக,

<... பின்னர் ○○>

அத்தகைய முறையால் அதை வெளிப்படுத்தலாம். அந்த நேரத்தில் பயன்படுத்தப்பட்ட <...> மற்றும் <○○> ஆகியவை குறிப்பிடப்படாத மற்றும் பொதுவான முறையில்-அதாவது மாறி முறையில்- (அதற்கு பதிலாக, எடுத்துக்காட்டாக, p மற்றும் q சின்னங்கள் இருந்தாலும்) அத்தியாவசிய வேறுபாடு ஏற்படாது). அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தைப் பெற்ற பின்னரே, நாம், எடுத்துக்காட்டாக,

<அனைத்து முன்மொழிவுகளுக்கும் p , p என்றால், பின்னர் q> போன்ற ஒரு சுருக்கச் சட்டத்தை வெளிப்படுத்த முடியும். இந்த வகையில், தர்க்கத்தின் விவாதத்தில், அன்றாட மொழியில் காணப்படாத சின்னங்கள் தோன்றுவதைத் தவிர வேறு வழியில்லை. மாறுபட்ட வெளிப்பாடுகள் அன்றாட மொழியில் மிகவும் குறைவு.

உண்மைக்கு உள்ளூராக்கல்

நவீன தர்க்கத்தின் இரண்டாவது அம்சம் என்னவென்றால், சிந்தனையின் ஒவ்வொரு கூறுகளின் பொருளையும் (அல்லது மாறாக, சிந்தனையின் வெளிப்பாடாக மொழி) அந்த கூறுகளுடன் தொடர்புடைய யதார்த்தத்தால் வரையறுக்க முயற்சிக்கிறது. ஒரு வார்த்தையின் பொருள் உலகப் பக்கத்தில் உள்ள சூழ்நிலையைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை. நவீன தர்க்கம் சொற்களைப் பொருளுடன் தொடர்புபடுத்தும் வரை அவற்றைப் பயன்படுத்துவதைப் பற்றியது, மேலும் மனித மனதில் வார்த்தைகள் ஏற்படுத்தும் படத்தைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை.

செயல்பாட்டு புரிதல்

மூன்றாவதாக, இந்த வழியில் புரிந்து கொள்ளப்பட்ட மொழியின் ஒவ்வொரு கூறுகளின் தர்க்கரீதியான தொடர்பு ஒரு வகையான அளவு கடித (செயல்பாடு உறவு) ஆக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. நவீன தர்க்கம் இந்த கருத்தை கணிதத்திலிருந்து பெற்றது. விரிவாக விளக்குகிறேன். இப்போது, முன்மொழிவை மாறி முறையில் வெளிப்படுத்தும் சின்னங்கள் p மற்றும் q என வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த முன்மொழிவுக்கு முக்கியத்துவம் வாய்ந்த ஒரே விஷயம், அது உலகத்துடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது என்பதுதான்: உண்மை அல்லது பொய். இப்போது <not p> என்ற வெளிப்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம். இது வழக்கமாக லாஜிஸ்டிக் தர்க்கத்தில் <~ p> என எழுதப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, <1999 ஒரு பாய்ச்சல் ஆண்டு> <1999 ஒரு பாய்ச்சல் ஆண்டு அல்ல> இரண்டு முன்மொழிவுகளின் ஒப்பீட்டிலிருந்து பார்க்கும்போது, தவறான முன்மொழிவில் <non p> உண்மையான முன்மொழிவு p க்கு ஒதுக்கப்பட்டால், தவறான முன்மொழிவு என்றால் p க்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஒரு உண்மையான கருத்தாகும். தர்க்கம் இந்த உண்மையை மாற்றியமைக்கிறது மற்றும் ஒரு முன்மொழிவின் உண்மையை மாற்றியமைக்கும் செயல்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு வார்த்தையாக வரையறுக்கிறது. இதன் பொருள் <~ p > என்பது உண்மையின் அடிப்படையில் p இன் செயல்பாடு. இது <p மற்றும் q > (p ∧ q என எழுதப்பட்டுள்ளது ) மற்றும் < p அல்லது q > (p ∨ q என எழுதப்பட்டுள்ளது ) ஆகியவற்றுக்கும் பொருந்தும், மேலும் p மற்றும் q இரண்டும் உண்மையாக இருக்கும்போது மட்டுமே <pq > உண்மை, மற்றும் < p And q > என்பது p மற்றும் q இன் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது, இது p மற்றும் q இரண்டும் தவறானதாக இருக்கும்போது மட்டுமே தவறானது.

லாஜிஸ்டிக் தர்க்கத்தின் பகுதி

லாஜிஸ்டிக் தர்க்கத்தின் அடிப்படை பகுதி முன்மொழிவு தர்க்கம் எப்பொழுது தர்க்கத்தை கணிக்கவும் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. முன்மொழிவு தர்க்கம், முன்மாதிரியைப் போலவே, ஒரு முன்மொழிவை ஒரு அடிப்படை அலகு என்று கருதுகிறது மற்றும் அலகுகளுக்கு இடையிலான தர்க்கரீதியான உறவில் கவனம் செலுத்துகிறது. முன்கணிப்பு தர்க்கம் ஒரு பகுதியாக முன்மொழிவு தர்க்கத்தை உள்ளடக்கியது, ஆனால் அடிப்படை முன்மொழிவின் உள் கட்டமைப்பையும் நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம் மற்றும் உள் கட்டமைப்பு தொடர்பான தர்க்கரீதியான சட்டங்கள் உட்பட, முன்மொழிவின் தர்க்கரீதியான உறவை தெளிவுபடுத்துகிறோம்.
தர்க்கம்
ஹிதேஹிசா சாகாய்

கணித குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி பொதுவாக கணிதத்திற்குப் பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவைப் படிக்கும் தர்க்கத் துறை. குறியீட்டு தர்க்கம், கோட்பாட்டு தர்க்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
ஆங்கிலத்தில் இது குறியீட்டு தர்க்கம். கணித தர்க்கம் மற்றும் கணித தர்க்கம் இரண்டும். இது நவீன தர்க்கத்தின் மாற்றுப்பெயர் என்று கூறலாம், ஆனால் ரைமுண்டஸ் · ரஸ் (ரூத்தின் கலை), லீப்னிஸ் (மேடிசிஸ் · யுனிவெல்சலிஸ்) பவுல் மற்றும் டி மோர்கன் மற்றும் ஃப்ரீஜி இட் ஆகியோரிடமிருந்து குறியீட்டு சோதனை மூலம் பகுத்தறிவு செய்வதற்கான யோசனை உள்ளது. "கருத்தியல் குறியீடு" (1879), வைட்ஹெட் = ரஸ்ஸலின் "பிரின்சிபியா மேட்டமெடிகா" (1910 - 1913) ஆகியவற்றால் நிறைவு செய்யப்பட்டது. ஃப்ரீஜுக்கு முன் "பாரம்பரிய தர்க்கம்" ( சொற்பொழிவு ) என்பதிலிருந்து உள்ள வேறுபாடு என்னவென்றால், அனுமானத்தின் வீச்சு வியத்தகு முறையில் பெரிதாகிறது, அளவீட்டுக்கான சிகிச்சை சாத்தியமாகும், கணிதத்தின் கண்டிப்பான வழியின் பகுப்பாய்வு இது செய்யப்பட வேண்டும். தர்க்கம்
Items தொடர்புடைய பொருட்கள் இயற்பியலின் எண் கோட்பாடு | தார்ஸ்கி | பூலியன் | பீனோவின் | முன்மொழிவு தர்க்கம்