समूह

सभी सकारात्मक संख्याओं के सेट P को ध्यान में रखते हुए , ये निम्नलिखित चार स्थितियों को पूरा करते हैं। (1) यदि a और b P के तत्व हैं, तो उत्पाद a × b निर्धारित होता है, और एक × b भी P का तत्व है। (2) साहचर्य नियम, ( a × b ) × c = a × ( b × c ) रखती है। (3) 1 x a = a x 1 = a (पहचान तत्व 1 मौजूद है)। (4) एक × एक ⁻ ¹ = एक ⁻ ¹ × एक = 1 (वहाँ एक व्युत्क्रम तत्व एक ⁻ ^1)।

सामान्य तौर पर, गुणा की संख्या तक सीमित नहीं है, एक सेट जी के लिए एक ऑपरेशन (योजक की संख्या, जैसे मानचित्रण के संश्लेषण) को परिभाषित किया जाता है, जब यह ऊपर की तरह चार स्थितियों को पूरा करता है, जी एक समूह है। ठोस उदाहरणों में, ×, + और such जैसे ऑपरेशन के लिए विभिन्न प्रतीक हो सकते हैं, इसलिए यदि वे आम तौर पर * द्वारा दर्शाए जाते हैं, तो परिभाषा निम्नानुसार है।

एक परिभाषित एकल गणना है * सेट जी, अर्थात्, (1) ए, अगर बी जी मूल है और निश्चित है एक * बी, एक जी पूर्व, आगे तीन शर्तें (2) - जब (4) संतुष्ट है, जी इस ऑपरेशन के संबंध में एक समूह बनाने के लिए कहा जाता है *। (२) संघात्मक कानून, ( a * b ) * c = a * ( b * c ) धारण करता है। (३) G गले में मूल a के लिए भी उपयुक्त स्रोत e है , और e * a = a * e = a है। यह ई जी (4) की पहचान तत्व कहा जाता है जी, एक * ख = b * एक = ई बन ऐसे मूल ख मौजूद हैं के प्रत्येक तत्व एक के लिए। यह बी कि एक का उलटा ।

गिना जा रहा है एक समय योज्य के रूप में करने के लिए भेजा के रूप में गणित प्रतीक आमतौर पर 0 पर उपयोग करने के लिए एक + मामले एकता का प्रतिनिधित्व करता है, एक शून्य के रूप में भेजा, यह भी एक का उल्टा - एक में व्यक्त किया, यह एक नकारात्मक एक के रूप में भेजा।

जब किसी ऑपरेशन को गुणन कहा जाता है, तो ऑपरेशन प्रतीक (एक * b ab है ) या उपयोग · को संक्षिप्त करना आम है, और पहचान तत्व को अक्सर 1 से दर्शाया जाता है। a ^{का व्युत्क्रम एक। 1} द्वारा दर्शाया जाता है।

इसके अलावा और संख्याओं का गुणा के मामले में, हालत (5) विनिमेय कानून, कि है, एक * ख = b * एक संतुष्ट हो जाता है। ऐसी स्थिति में कम्यूटेटिव ग्रुप या एबेलियन समूह कहा जाता है। अब से, इस अनुभाग में, समूह संचालन के लिए प्रतीकों को छोड़ दिया जाएगा, और उत्पाद को ab के रूप में लिखा जाएगा।

सममित समूह (संख्याओं के जोड़ और गुणन से भिन्न परिचालनों के समूह बनाने के उदाहरण के रूप में) प्रतिस्थापन समूह ), लेकिन मैं आपको इसके अलावा एक सरल उदाहरण देता हूं।

उस मामले पर विचार करें जहां एक बोर्ड जो सामने और पीछे को अलग कर सकता है उसे टेबल पर रखा गया है। प्लेट को मोड़ने का कार्य एक है, ई के साथ कुछ भी नहीं करने की कोशिश कर रहा है। ए को ध्यान में रखते हुए जिसमें ए को दो बार दोहराया जाता है, यह मूल स्थिति में वापस आ जाता है, इसलिए एए = ई । फिर, केवल दो तत्व , एक और ई, एक समूह बनाते हैं। अभी, मैंने बोर्ड के अभिविन्यास के बारे में नहीं सोचा था जब मैंने इसे केवल बोर्ड के सामने और पीछे रखा था, लेकिन अगर मैं एक ही ऑपरेशन के बारे में सोचता हूं तो यह उन्मुखीकरण के साथ होता है, बल्कि एक जटिल समूह का गठन किया जा सकता है।

डिग्री 5 और उससे ऊपर के समीकरणों के समाधान खोजने के प्रयास में, जेएल लाग्रेंज और वैंडर्मोंडे एलेक्सिस थियोफाइल वांडरमोंड (1735-96) ने 1770 के आसपास के क्यूबिक और चतुर्धातुक मामलों के समाधानों की जांच की, और जड़ निर्माण में जड़ें पाईं। हमने इस बात पर ध्यान केंद्रित किया कि जब प्रतिस्थापन किए गए थे तब मूल्य कितने अलग थे। लगभग आधी सदी बाद, एनएच एबेल और एवरिस्टे ने उस विचार को आगे बढ़ाया, और एबेल ने पहले बीजगणितीय रूप से बहुपद (गुणांक से शुरू होता है और क्विंटिक समीकरणों और संचालन जो जड़ों को लेते हैं) द्वारा प्राप्त किया। और दिखाया कि कुछ सामान्य क्विंटिक बहुपद को बीजगणितीय रूप से हल नहीं किया जा सकता है। गैलोज़ ने आगे बढ़कर पॉलीनॉमिअल्स (आज की भाषा में गैलोज़ समूह) के एक समूह पर विचार किया, और जड़ क्षेत्र और उसके मध्यवर्ती को भी परिभाषित किया, और गैलोज़ समूह और मध्यवर्ती की संरचना के बीच संबंध को स्पष्ट किया। .. यह गाल्वा भी था जिसने बाद में वर्णित सामान्य उपसमूह को परिभाषित किया, और गाल्वा के इस अध्ययन को समूह सिद्धांत की शुरुआत कहा जा सकता है। सी। जॉर्डन की 1870 में प्रकाशित पुस्तक में गैलोज़ सिद्धांत का विस्तार से वर्णन किया गया है। जिस समूह से हमने निपटा, वह एक समीकरण की जड़ों का क्रमचय समूह था, और फिर AL कॉची ने अधिक सामान्य क्रमचय समूह के साथ निपटा, लेकिन संक्षिप्त परिभाषा शुरुआत केली आर्थर केली (परिमित समूहों के मामले में) है। ) और एल। क्रोनकर (आम तौर पर)। जब हम इस तरह से अमूर्त समूहों की अवधारणा पर पहुँचे, तो समूहों और ज्यामिति के बीच संबंध सामने आए, जिसे एफ। क्लेन के प्रसिद्ध एर्लांगेन प्रोग्राम द्वारा स्पष्ट किया गया था। तब से, समूहों की अवधारणा गणित के कई क्षेत्रों में बहुत ही मूल हो गई है, न कि केवल बीजगणित और ज्यामिति। यह क्रिस्टलोग्राफी और क्वांटम यांत्रिकी में क्रिस्टल के वर्गीकरण पर भी लागू होता है। चरण को समूह में रखें सामयिक समूह आवेदनों की एक विस्तृत श्रृंखला भी है। इतने महत्वपूर्ण समूह हैं कि यह कहा जा सकता है कि आवेदन के क्षेत्र और उनमें से कई के आधार पर समूह हैं झूठ समूह जिसे कहा जाता है, उसमें शामिल करें।

आइए समीकरण के गैलाइस समूह को निर्धारित करें x ⁶ -2 = 0. यदि 1 की काल्पनिक घन जड़ों में से 1, root, 1 की 6 वीं जड़ है, और उपरोक्त समीकरण की 6 जड़ें ^{\ 6} \ (\) हैं। sqrt {2} \), ± ⁽⁶ \ (\ sqrt)। {2} \), ± ^{6 2} 6 \ (\ sqrt {2} \)। गैलोज़ समूह जी का मूल a स्वतंत्र रूप से 6 जड़ों का क्रमचय नहीं है, लेकिन अगर इसे संख्याओं की प्रणाली के रूप में उपयुक्त माना जाता है, तो ⁶ \ (\ sqrt {2} \) और ω को (पूर्व) में कॉपी किया जाता है । 6 जड़ों में से एक है, और बाद वाला ω या ^{, 2} ) है, अन्य जड़ों का गंतव्य भी निर्धारित है।type="inline"/> (00416302 की तरह)। तो τ, τ,के अनुसार,

σ, σ ² ,, ³ , σ ⁴ , σ ⁵ , σ ⁶ = 1

τσ, τσ ² ,, ³ , τσ ⁴ , τ ⁵ , τσ

12 तत्व अलग-अलग G तत्व हैं। ^{चूंकि 6} \ (\ sqrt {2} \) में 6 गंतव्य हैं और, में 2 गंतव्य हैं, इसलिए G का तत्व 6 × 2 = 12 से अधिक नहीं हो सकता है, इसलिए उपरोक्त 12 तत्व गैलोज़ हैं। एक समूह बनाओ। इस समूह में, ^{= 6} = 1, 1 ² = 1, σ = σ ⁵ = τστ ¹ (ω τστ → ω, ⁶ \ (\ sqrt {2} \)) के अलावा → ^{6 2} 6 \ (\) ) क्योंकि इसे sqrt {2} \) के रूप में कॉपी किया जाता है।

एक सॉल्वेबल ग्रुप (बाद में वर्णित) की एक अवधारणा है, लेकिन एक समीकरण को बीजगणितीय रूप से हल करने के लिए, यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है कि गैलोज़ समूह एक सॉल्व करने योग्य समूह है।

यह ज्ञात है कि एक कोण is है जिसे एक शासक और एक कम्पास के साथ तीन समान भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।हैसमूह 00416702 उपलब्ध है। उस स्थिति में, जब गाल्वा समूह के तत्वों की संख्या दो या उससे कम हो, तब आकर्षित करना संभव है। उदाहरण के लिए, भले ही θ = 60 °, गैलोज़ समूह के तत्वों की संख्या छह हो। इस तरह, गाल्वा समूह के पास समीकरणों को हल करने के अलावा अन्य अनुप्रयोग हैं।

उदाहरण के लिए, समूह P में, जो सभी धनात्मक संख्या गुणन के लिए बनाते हैं, यदि हम पूरी संख्या H को 3 ^m 5 ⁿ ( m , n , पूर्णांक) के रूप में लेते हैं, तो यह H , P है , और H अकेला एक समूह बन जाता है। । आईएनजी इस प्रकार, जब एक समूह G का एक सबसेट K भी एक समूह होता है, K को G का उपसमूह कहा जाता है । इस उदाहरण H को 3 और 5 द्वारा उत्पन्न उपसमूह कहा जाता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा उपसमूह है 3 और 5 सहित, और अक्सर <3, 5> द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। ^{एक समूह <a> = {a} | के तहत उत्पन्न होता है n = 0, = 1,, 2, ......} और a द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह। सामान्य तौर पर, समूह G का उपसमूह K दिया जाता है, यदि a और b a G के बीच एक सामान्य तत्व है Ka = { ka | k k K } और Kb = { kb | k k K }, फिर Ka = Kb । का फॉर्म के पूरे सेट को ध्यान में रखते हुए , हम G को सबसे समान तत्व वाले संघों में विभाजित करते हैं। का है, है ना सह समुच्चय सापेक्ष कश्मीर ( "सही", के बाद से एक इसी भी कश्मीर मूल द्वारा स्थानांतरित सही पक्ष पर है) या यही कारण है बाईं कश्मीर सह समुच्चय (क्योंकि कश्मीर बाईं ओर है "छोड़" है)। बाएँ और दाएँ उलट साथ फार्म ए के एक उप समूह भी बोधगम्य है, लेकिन जब दोनों के बीच इस तरह के अंतर छोड़ दिया और सही अर्थात, जब <कश्मीर ∈ कश्मीर और एक ∈ जी, तो एक ⁻ ¹ का ∈ कश्मीर> रखती है आवश्यक नहीं है, । K को G का सामान्य उपसमूह कहा जाता है , और प्रत्येक Ka को coset modulo K कहा जाता है। सभी कोष्ठकों के लिए, एक नए समूह को गुणा (Ka ) ( Kb ) = Kab के रूप में गुणा करके बनाया जाता है। इस समूह को आदर्श वर्ग समूह कहा जाता है और इसे G / K द्वारा दर्शाया जाता है । स्थिति यह है कि संपूर्ण पूर्णांक Z एक समूह है इसके अलावा, संपूर्ण nZ जो कि एक पूर्णांक n से अधिक है एक उपसमूह है, और प्रत्येक कोसेट है उन लोगों का एक समूह है जो n से विभाजित होते हैं और वही शेष रहते हैं। यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो यह आपको समझने में मदद करेगा।

जब H और K समूह G के उपसमूह होते हैं, तो सबसे छोटा उपसमूह {h | ¹ k k ¹ hk | h the H , k } K } को H और K, और [ H , K ] का कम्यूटेटर समूह कहा जाता है। चलो [एच, एच] डी (एच) के रूप में व्यक्त किया जा। जब G = G _{0 सेट होता है} और G _{i + 1} = D ( G _i ) सेट होता है, G = G ₀ ⊇ G ₁ … …… ⊇ G _{n n} ⊇ ……, लेकिन _{G n} एक निश्चित n पर पहचान तत्व है। जब यह केवल हो जाता है, तो जी को एक ठोस समूह कहा जाता है। यदि उपसमूह के कॉलम निम्नानुसार हैं तो भी यह समान है। _{G = H 0 ⊃ H 1 ⊃} ...... ⊃ H m = {unity}, प्रत्येक _{H i (i = 1,2, ......} , n) H _{i - 1} सामान्य उपसमूह का - H _{i - 1} / H _i एक एबेलियन ग्रुप है।

बीजीय रूप से हल किए जाने वाले समीकरण के लिए स्थिति इसलिए नामित की गई है क्योंकि गैलोज समूह के पास यह संपत्ति है।

जब H समूह G का उपसमूह होता है , तो सही कोष्ठक Ha (अनंत मामलों को देखते हुए) की संख्या जो एक दूसरे से भिन्न होती है, उसे G में H का प्रतिपादक कहा जाता है। यह [G: H ], ( G / H) द्वारा दर्शाया जाता है। आदि यह वही है भले ही इसे बाएं कोसेट द्वारा परिभाषित किया गया हो। जी की मूल संख्या जी के आदेश बुलाया | G |, ऐसे ♯ (G) द्वारा दर्शाया गया है। जब यह परिमित होता है, तो इसे परिमित समूह कहा जाता है। जी, एक के आदेश की कि <a> के एक आदेश द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह का तत्व एक। कब | जी | परिमित है, प्रत्येक हा में H , के समान तत्वों की संख्या है जी | = [ जी : एच ] × | एच | प्राप्त होता है, और उपसमूह हा का क्रम और प्रतिपादक होता है। यह पता चलता है कि यह आदेश का भाजक है।

जब G और {पहचान तत्व} के अलावा समूह G का कोई सामान्य उपसमूह नहीं होता है , तो G को एक साधारण समूह कहा जाता है। जब n group 5, nth- ऑर्डर अल्टरनेटिंग ग्रुप ( प्रतिस्थापन समूह ) एक साधारण समूह है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि डिग्री 5 और उससे ऊपर के समीकरण आमतौर पर बीजगणितीय रूप से हल नहीं होते हैं। क्षेत्र K पर n-वें क्रम विशेष रैखिक समूह G में , संपूर्ण स्केलर मैट्रिक्स N एक सामान्य उपसमूह है, इसलिए हम G / N के बारे में सोच सकते हैं। जब n, 2, G / N दो मामलों को छोड़कर एक साधारण समूह होता है। ( n = 2 और K का तत्व 2 या 3 है)।

समूह G में , Z = { x | G | किसी भी y any G , xy = yx } के लिए एक सामान्य उपसमूह है। इसे जी का केंद्र कहा जाता है। उपरोक्त विशेष रैखिक समूह G के मामले में, N केंद्र है।

जब परिमित समूह G का क्रम अभाज्य संख्या p का विद्युत p ^e होता है, G को p समूह कहा जाता है। यदि e is 1, G के केंद्र का क्रम ^{p m} ( m । 1) है। इसलिए, निम्नलिखित उपसमूह अनुक्रम है। _{{यूनिटी} = जेड ० 1 जेड १ ⊂} ...... = जेड एस = जी, प्रत्येक i = १,२, ......, _{एस, जेड आई / जेड आई के लिए -} १ जी / जेड है _{मैं - 1} केंद्र। इसलिए, समूह पी एक सॉल्व करने योग्य समूह है।

एक समूह G की जांच करने के लिए, दूसरे समूह H के लिए समरूपता Φ को ध्यान में रखते हुए, ^{φ⁻ नाभिक 1 1} (1) = { x | G की जाँच करना उपयोगी हो सकता है = ( x ) = 1 (पहचान तत्व)} और G (G)। ऐसे id और H पर विचार करने को G की अभिव्यक्ति कहा जाता है। यह H के लिए एक रैखिक समूह होने के लिए प्रथागत है, और एक समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का आमतौर पर इस तरह के प्रतिनिधित्व का सिद्धांत होता है। क्रमपरिवर्तन अभ्यावेदन अन्य प्रकार के निरूपण के उदाहरण हैं। H , G का एक उपसमूह हैप्रत्येक जी n जी के लिए 00416801, _{एन 1} एच सेट करता है , तो ...,, _एन एच पर क्रमचय,

ए ₁ एच ए ₂ एच ... ... ए _एन एच

गा ₁ एच गा ₂ एच …… गा _एन एच

के साथ जुड़कर, G से nth आदेश सममित समूह के लिए एक समरूपता प्राप्त की जाती है।

नियमित रूप से n बहुभुज एफ, रोटेशन और एफ के लिए एफ के दूसरा पहलू से एफ के रूपांतरण की स्थिति को परिभाषित करने के मामले घूम जाते हैं में n हैं, एन टुकड़े संश्लेषण रोटेशन के अंदर बाहर की, समूह बनाएं मूल की कुल 2 n टुकड़े से मिलकर । इस तरह के समूह को एक डिहेड्रल समूह कहा जाता है। नियमित पॉलीहेड्रोन में नियमित टेट्राहेड्रोन, नियमित हेक्साहेड्रोन (यानी क्यूब्स), नियमित ऑक्टाहेड्रोन, नियमित डोडेकेहेड्रॉन और नियमित रूप से आईसीओसहेड्रोन शामिल हैं। सकारात्मक n tetrahedron K की स्थिति का निर्धारण करें , K के केंद्र के चारों ओर घूमते हुए , एक समूह जो पूरी चीज़ को नहीं बदलता है, K की स्थिति को n tetrahedral समूह कहा जाता है, उन्हें सामूहिक रूप से संदर्भित किया जाता है, जो नियमित रूप से मेथेड्रॉन समूह है। टेट्राहेड्रल समूह चतुर्धातुक प्रत्यावर्ती समूह के लिए आइसोमोर्फिक है और 12 का एक आदेश है। हेक्साहेड्रल समूह, ऑक्टाहेड्रल समूह और चतुर्धातुक सममित समूह आइसोमोर्फिक हैं और 24 का एक आदेश है। इकोसाहेड्रॉन समूह, डायहेड्रल समूह और क्विंटिक अल्टरनेटिंग समूह आइसोमॉर्फर हैं। और 60 का क्रम है।
मासायोशी नागता

(1) नाभिक में, वह भाग जहाँ कुछ नाभिक जुड़े होते हैं और एक कण की तरह व्यवहार करते हैं, एक क्लस्टर कहलाता है, और जिस मॉडल में न्यूक्लियस क्लस्टर से बना होता है, उसे क्लस्टर मॉडल कहा जाता है।
→ परमाणु मॉडल
(२) जिस भाग में धातु-आयनों को धातु-धातु के बंधों द्वारा एक समूह बनाया जाता है, वह भाग क्लस्टर कहलाता है, और अणु में समूह रखने वाले यौगिक को धातु क्लस्टर यौगिक कहा जाता है।
→ धातु क्लस्टर यौगिक