टोपोलॉजी

english topology

सारांश

  • एक संचार नेटवर्क की विन्यास
  • शुद्ध गणित की शाखा जो केवल एक आकृति एक्स के गुणों से संबंधित है जो प्रत्येक आकृति को पकड़ती है जिसमें एक्स को एक-से-एक पत्राचार के साथ परिवर्तित किया जा सकता है जो दोनों दिशाओं में निरंतर है
  • शरीर के क्षेत्रों या प्रभागों के आधार पर शरीर रचना का अध्ययन और उस क्षेत्र में विभिन्न संरचनाओं (मांसपेशियों और नसों और धमनी आदि) के बीच संबंधों पर जोर देना।
  • किसी दिए गए स्थान का भौगोलिक अध्ययन (विशेष रूप से उस स्थान का इतिहास जैसा कि इसकी स्थलाकृति द्वारा दर्शाया गया है)
    • ग्रीनलैंड की टोपोलॉजी बर्फ की उम्र के ग्लेशियरों द्वारा आकार दिया गया है

अवलोकन

गणित में, टोपोलॉजी (ग्रीक τόπος, जगह , और λόγος, अध्ययन से ) अंतरिक्ष के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विकृतियों के तहत संरक्षित हैं, जैसे खींचने, टुकड़े टुकड़े करने और झुकने, लेकिन फाड़ना या चमकना नहीं। इसका उपयोग सबसेट्स के संग्रह पर विचार करके किया जा सकता है, जिसे ओपन सेट कहा जाता है, जो कुछ गुणों को पूरा करते हैं, दिए गए सेट को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में जाना जाता है। महत्वपूर्ण स्थलीय गुणों में जुड़ाव और कॉम्पैक्टनेस शामिल है।
अंतरिक्ष, आयाम, और परिवर्तन जैसे अवधारणाओं के विश्लेषण के माध्यम से, ज्यामिति और सेट सिद्धांत से अध्ययन के क्षेत्र के रूप में विकसित टोपोलॉजी विकसित हुई। इस तरह के विचार गॉटफ्राइड लीबनिज़ वापस जाते हैं, जिन्होंने 17 वीं शताब्दी में ज्यामेट्रिया साइटस (ग्रीस-लैटिन "जगह की ज्यामिति" के लिए) और विश्लेषण सीटस (ग्रीक-लैटिन "जगह के अलावा चुनने" के लिए) की कल्पना की। कोनिग्सबर्ग समस्या और पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला के लियोहार्ड यूलर के सात पुल तर्कसंगत रूप से क्षेत्र के पहले प्रमेय हैं। शब्दकोष शब्द 1 9वीं शताब्दी में जोहान बेनेडिक्ट लिस्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया था, हालांकि यह 20 वीं शताब्दी के पहले दशकों तक नहीं था कि एक स्थलीय स्थान का विचार विकसित किया गया था। 20 वीं शताब्दी के मध्य तक, टोपोलॉजी गणित की एक प्रमुख शाखा बन गई थी।

जिसे टोपोलॉजी भी कहा जाता है। ज्यामिति जो केवल एक बिंदु को बनाने वाले बिंदुओं के निरंतर स्थितीय संबंध पर केंद्रित है।

चरण और सहकर्मी में

बिंदुओं के बीच निरंतर स्थितीय संबंध को बदलने के बिना दो आंकड़े जो रूपांतरित और ओवरलैप किए जा सकते हैं, उन्हें एक ही आंकड़ा माना जाता है और एक दूसरे के साथ चरण में हैं। रबर से बनी आकृतियों के बारे में सोचें। एक आकृति को विस्तार / संकुचन में विकृत किया जा सकता है, लेकिन केवल आकृति को फाड़ या ओवरलैप किए बिना विस्तार / संकुचन द्वारा विकृत आकृति मूल आकृति के साथ चरण में है। इसके अलावा, भले ही आकृति के एक हिस्से को काट दिया जाए और बढ़ाया और विकृत कर दिया जाए, फिर भी कट ऑफ भागों को एक साथ रखने पर भी आकृति पर बिंदुओं के बीच निरंतर स्थितीय संबंध बना रहता है। हो गया है। एस और मैं चरण में हैं क्योंकि एस अक्षर उस पत्र में बदल जाता है जिसे मैंने खींचा था। हालांकि, कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कैसे फैलता हूं या अनुबंध करता हूं, मैं O अक्षर में तब तक परिवर्तित नहीं होता जब तक कि दोनों छोर अतिव्यापी न हों, इसलिए I और O चरण में नहीं हैं। वर्णमाला के कुछ अक्षरों को निम्नानुसार वर्गीकृत किया गया है। समान स्तंभ में वर्ण एक दूसरे के साथ चरण में हैं, और विभिन्न स्तंभों में वर्ण एक दूसरे के साथ चरण में नहीं हैं।

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आकृति 1 इसलिए ~ सी कब ~ जी ये आंकड़े एक दूसरे के साथ चरण में हैं। आकृति 1-एक एक चक्र है, आकृति 1-बी एक त्रिकोण है, आकृति 1 - सी अंतरिक्ष में बंधा एक चक्र है। आकृति 1-घ एक डोनट की सतह है, गणित में एक टॉरस कहा जाता है। आकृति 1-ए एक बंधी हुई धार है, आकृति है 1-च क्या त्रि-आयामी सतह को एक गोले से बनी सुरंग खोदी जाती है। आकृति 1-जी कॉफी कप की सतह है। आकृति 1-एक और फिगर 1-बी विस्तार और संकुचन द्वारा विकृत किया जा सकता है। 1-ग सिर्फ स्ट्रेचिंग नहीं है 1-एक इसे रूपांतरित नहीं किया जा सकता है। आकृति 1-एक यह है, और एल बिंदु पी पर आधा हिच डिस्कनेक्ट , और कनेक्टिंग पी पी फिर से एफआईजी पर डिस्कनेक्ट हो गया है। 1-ग में तब्दील किया जा सकता है 2-एक )। कॉफी कप की सतह को एक टोरस में बदल दिया जा सकता है। 1-ए , चित्रा 1-च जुदाई और विरूपण के बिना एक टोरस में तब्दील नहीं किया जा सकता। आकृति 1-ए आरेख पर छोटे सर्कल सी में गाँठ को अलग करें, जब पुनः हारियावा सी चित्रा 1-घ (चित्रा 2-बी )। आकृति 1-च के लिए, सुरंग के प्रवेश पर घुमावदार चक्र सी डिस्कनेक्ट, अन्य आउटलेट से दराज, क्षेत्र के अंदर अलग सुरंग के गाँठ सतहों तनाव मुक्त करते हुए फिर से खींच लिया बाहर भाग क्षेत्र सी छवि के बाहर फैला हुआ था। 1-घ में तब्दील किया जा सकता है 2-ग )।

इस तरह, टोपोलॉजी का संबंध स्वयं एक आकृति के निरंतर आकार से है, लेकिन एक विमान या अंतरिक्ष के संबंध में आंकड़े का स्थितीय संबंध भी एक महत्वपूर्ण शोध विषय है। विमान पर एक चक्र विमान को टक्कर देता है। यह संपत्ति उस विमान के किसी भी आंकड़े के लिए है जो सर्कल के साथ चरण में है। <हवाई जहाज पर एक वृत्त के साथ चरण में आंकड़े विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं (जॉर्डन की वक्र प्रमेय)> विमान टोपोलॉजी में एक बुनियादी प्रमेय है। अंतरिक्ष में एक सर्कल के साथ चरण में एक आंकड़ा अंतरिक्ष को बाइसेक्ट नहीं करता है। जॉर्डन वक्र प्रमेय एक प्रमेय है जो एक वृत्त और इसके बीच स्थित विमान के बीच स्थितीय संबंध को दर्शाता है। एक ग्राफिक जिसे केवल एक विमान पर खींचकर या अनुबंध करके एक दूसरे पर आरोपित किया जा सकता है, उसे उस विमान पर एक बराबर आकृति कहा जाता है। अंतरिक्ष में, आंकड़े जो केवल विस्तार और संकुचन द्वारा एक दूसरे के साथ आगे बढ़ सकते हैं, उन्हें अंतरिक्ष में सहकर्मी आंकड़े कहा जाता है। काटने से विरूपण ग्राफिक पर बिंदुओं के बीच निरंतर स्थितीय संबंधों को नहीं बदलता है, लेकिन ग्राफिक के स्थैतिक संबंध को अंतरिक्ष के संबंध में बदलता है। आंकड़े जो सहकर्मी हैं वे एक दूसरे के साथ चरण में हैं। आकृति 1-एक और फिगर 1-बी एक सहकर्मी है, लेकिन आंकड़ा है 1-एक और फिगर 1-ग सहकर्मी नहीं हैं। आकृति 1-ग यदि आप नहीं काटते हैं 1-एक ऐसा इसलिए है क्योंकि इसे विकृत नहीं किया जा सकता है। उसी कारण से चित्रा 1-ए , चित्रा 1-च एक आकृति है 1-घ एक ही नहीं है। कॉफी कप की सतह डोनट की सतह के समान होती है। अंतरिक्ष में एक सर्कल के साथ चरण में एक आंकड़ा एक गाँठ है ( गांठ आधुनिक गणित के विषय के रूप में गाँठ समस्थानिक समस्या का अध्ययन किया जा रहा है। जैसा कि ऊपर वर्णित है, टोपोलॉजी को ज्यामिति कहा जा सकता है जो किसी आकृति की स्थिति और आकार के बारे में अंतर्ज्ञान के लिए अनिवार्य रूप से अपील करता है, और यह स्थिति और चरण के नाम का मूल है, अर्थात टोपोलॉजी।

टोपोलॉजी

टोपोलॉजी, जिसे टोपोलॉजी भी कहा जाता है, ग्रीक टोपोस और स्थान (लॉग) से उत्पन्न होती है, और जेबेल्टिंग (1808-82), "वोरस्टूडियन ज़्यूर टोपोलोजी" (1847) पुस्तक के साथ शुरू होती है। लिस्टिंग टोपोलॉजी को "एक अध्ययन के रूप में परिभाषित करता है जो अंकों और रेखाओं, विमानों और अंतरिक्ष में स्थिति, मात्रा और आकार के अलावा, आकार और स्थिति के नियमों का अध्ययन करता है"। यहां तक कि पुराने समय में, GWF Leibnitz ने 1679 में C. Huygens को संबोधित एक पत्र में लिखा था कि <बीजगणित मात्रा को संभालता है, जबकि मुझे लगता है कि विश्लेषण का एक क्षेत्र जो सीधे ज्यामितीय पदों से संबंधित है, आवश्यक है। मैंने इस क्षेत्र को "विश्लेषण साइटस" नाम दिया है, लेकिन मैंने किसी विशेष समस्या का उल्लेख नहीं किया है। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत तक विश्लेषण साइटलस लंबे समय तक रहा है, लेकिन आज इसका उपयोग नहीं किया जाता है।

चरण अपरिवर्तनीय-यूलर विशेषता

पांच प्रकार के नियमित पॉलीहेड हैं, सभी एक दूसरे के साथ चरण में हैं। किसी भी नियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए, यदि कोने की संख्या a है , तो किनारों की संख्या b है , और चेहरों की संख्या c है , तो a - b + c = 2. यह किसी भी polyhedron के लिए सही है जो एक गोलाकार के साथ चरण में है सतह, न केवल एक नियमित पॉलीहेड्रॉन। पॉलीहेड्रल शोध का इतिहास ग्रीस से मिलता है, लेकिन इस तथ्य को पहली बार 1640 में आर। डेसकार्टेस द्वारा खोजा गया था और 1752 में एल। यूलर द्वारा फिर से खोजा गया था। सामान्य तौर पर, एक संख्या a - b + c जिसे पक्षों की संख्या b को घटाकर प्राप्त किया जाता है। एक बहुतल और फलकों की संख्या के कोने की संख्या एक का योग बहुतल के यूलर विशेषता कहा जाता है। चरण में पॉलीहेड्रोन की यूलर विशेषता समान है। इस तरह की संपत्ति को चरण के आंकड़ों में आम कहा जाता है, जिसे आंकड़ों की स्थलाकृतिक प्रकृति कहा जाता है, और यूलर विशेषता जैसे मात्राओं को चरण आक्रमणकारी कहा जाता है। वस्तु की सतह एक घुमावदार सतह है। एक अनंत तल भी एक घुमावदार सतह है, और एक डिस्क की तरह किनारों के साथ एक घुमावदार सतह है, लेकिन एक वस्तु की सतह असीम रूप से विस्तार नहीं करती है और कोई किनारा नहीं है। इस तरह की घुमावदार सतह को एक बंद घुमावदार सतह कहा जाता है। यह ज्ञात है कि बंद सतह पॉलीहेड्रा के साथ चरण में हैं। इसलिए, एक बंद सतह की यूलर विशेषता को एक पॉलीहेड्रॉन की यूलर विशेषता के रूप में परिभाषित किया गया है जो सतह के साथ चरण में है। एक बंद सतह के टोपोलॉजिकल गुण, जो एक वस्तु की सतह है, इसकी यूलर विशेषता द्वारा निर्धारित किया जाता है। यूलर विशेषता जिसे एक बंद सतह द्वारा लिया जा सकता है जो किसी वस्तु की सतह है 2, 0, -2, -4, ..., -2 n , ... ( जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है), और एक दिए गए यूलर विशेषता के साथ एक बंद यूलर विशेषता घुमावदार सतहों को आसानी से बनाया जा सकता है। एक बंद सतह के यूलर विशेषता है, जो जी एक क्षेत्र से जुड़ी हैंडल के साथ एक ठोस सतह है, 2 (1-जी) (चित्र है। 3-एक )। इसे जी छेद (छवि) के साथ एक बिस्कुट की सतह कहा जा सकता है। 3-ख )। जी बंद सतह जीनस जीनस को बुलाओ। (घुमावदार सतह की उत्पत्ति) = 1−1 / 2 (यूलर विशेषता), और इसलिए जीनस भी घुमावदार सतह का एक चरण अपरिवर्तनीय है। एक वस्तु का आकार असीमित है, लेकिन किसी भी वस्तु की सतह बिस्किट की सतह के साथ कई छेदों के साथ चरण में है। घुमावदार सतह ऑब्जेक्ट की सतह तक सीमित नहीं है, और एक डिस्क की तरह एक किनारे के साथ एक घुमावदार सतह है। एक बंद सतह से इसके ऊपर कई डिस्क को हटाकर, एक किनारे के साथ एक घुमावदार सतह बनाई जा सकती है, लेकिन एक अलग किनारे और सामयिक गुणों वाली घुमावदार सतह की खोज 1858 में मोएबियस द्वारा की गई थी। यह घुमावदार सतह एक घुमावदार सतह है जो टेप को 180 डिग्री घुमाकर और दोनों सिरों को जोड़कर बनाई जाती है, और इसे मोबियस स्ट्रिप मोबीस स्ट्रिप (अंजीर) कहा जाता है। 4-एक )। मोबियस स्ट्रिप का किनारा सर्कल के साथ चरण में है। इस घुमावदार सतह के केंद्र रेखा c पर एक बिंदु p से शुरू होकर, यह केंद्र रेखा c के चारों ओर जाने के बाद पीछे की तरफ निकलेगा। इस तरह, एक घुमावदार सतह जो कि घुमावदार सतह के अंदर एक बिंदु से शुरू होती है और किनारे को पार किए बिना पीछे की ओर मुड़ सकती है, सिंगल साइड कर्व्ड सतह कहलाती है। एकल-पक्षीय घुमावदार सतह एक घुमावदार सतह होती है जिसमें आगे और पीछे की सतह नहीं होती है, और एक घुमावदार सतह होती है, जिसे सीमा के रूप में किनारे का उपयोग करके सामने और पीछे की तरफ रंग-कोडित नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, एक घुमावदार सतह जिसे सीमाओं के रूप में आगे और पीछे के साथ रंग-कोडित किया जा सकता है, जैसे कि एक डिस्क, या एक घुमावदार सतह जो किनारे से गुजरने के बिना सामने से पीछे की ओर नहीं जाती है, दोहरी कहलाती है सतह घुमावदार सतह। एकपक्षीयता एक सामयिक संपत्ति है। मोबियस स्ट्रिप की केंद्र रेखा पर एक बिंदु p पर एक छोटा वृत्त लिखें और वृत्त पर एक वामावर्त वामावर्त जोड़ें। जब यह छोटा वृत्त केंद्र रेखा के साथ चक्कर लगाता है और मूल बिंदु p पर लौटता है, तो तीर दक्षिणावर्त मुड़ता है (चित्र)। 4-ख )। इस कारण से, मोबियस पट्टी को एक असमान सतह कहा जाता है। गणित में, एक घुमावदार सतह को OR आकृति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रत्येक बिंदु एक डिस्क के साथ चरण में होता है>, लेकिन घुमावदार सतह के सामयिक गुण तीन स्थितियां हैं: घुमावदार सतह की सीमा की संख्या, यूलर विशेषता, और द्वारा उन्मुखीकरण की संभावना

एकतरफा समस्या

एक आकृति जिसमें बिंदुओं की एक परिमित संख्या होती है जिसे कोने कहते हैं और उन्हें जोड़ने वाली कई लाइनें रेखा रेखा रेखा कहलाती हैं। शीर्ष रेखाओं को छोड़कर रेखाएं एक-दूसरे को पार नहीं करेंगी। रेलवे नेटवर्क, सर्किट नेटवर्क, क्रिस्टल संरचना आरेख और सिस्टम आरेख जैसे लाइन ग्राफ़ के कई उदाहरण हैं। लाइन ग्राफ टोपोलॉजी का एक उदाहरण वन-स्ट्रोक ड्राइंग की समस्या है। एक लाइन ग्राफ पर एक बिंदु से शुरू, अगर किसी भी रेखा को केवल एक बार पारित किया जा सकता है और मूल बिंदु पर वापस आ सकता है, तो रेखा ग्राफ को एक ही स्ट्रोक (पारित होने की संख्या) के साथ खींचा जा सकता है)। एक लाइन ग्राफ को एक झटके के साथ खींचा जा सकता है या नहीं, रेखा ग्राफ का एक टोपोलॉजिकल गुण है। एक शीर्ष पर एकत्रित लाइनों की संख्या को उस शीर्ष की डिग्री कहा जाता है, एक विषम क्रम वाले शीर्ष को विषम बिंदु कहा जाता है, और सम संख्या वाले शीर्ष को एक सम बिंदु कहा जाता है। इस समय, निम्नलिखित एक-स्ट्रोक बुनियादी प्रमेय रखती है। <एक लाइन ग्राफ के लिए एक स्ट्रोक के साथ तैयार की जाने वाली आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि लाइन ग्राफ जुड़ा हुआ है और विषम बिंदुओं की संख्या 0 या 2> है। एकतरफा लेखन की समस्या यूलर से शुरू होती है। यूलर ने 1763 अंक प्रस्तुत किया और शुरुआत में कहा कि "निम्नलिखित शायद लाइबनिट्स विश्लेषण साइटस मुद्दा है"। यूलर समस्या <कोनिग्सबर्ग एक द्वीप एक Kneipphof कहा जाता है। इस द्वीप द्वारा नदी एक आकृति है 5-एक जैसा कि दिखाया गया है, यह दो सहायक नदियों में विभाजित है। इस सहायक नदी पर सात पुल , बी , सी , डी , , एफ , और जी बनाए गए हैं। क्या आप इन सभी पुलों पर केवल एक ही बार चल सकते हैं?> समस्या यह है कि पुल एक लाइन है, और नदियों द्वारा अलग किए गए चार भूमि क्षेत्रों को अंक माना जाता है। 5-ख ) एक ही स्ट्रोक के साथ एक समस्या होगी। इस ग्राफ में, सभी कोने विषम बिंदु हैं, विषम बिंदुओं की संख्या 5 है, और एक स्ट्रोक नहीं निकाला जा सकता है।

होमोटॉप्स और होमोलॉग्स

टोपोलॉजी, लाइबनिज़ द्वारा भविष्यवाणी और केवल कुछ गणितज्ञों यूलर एट अल। कुछ काम किए, धीरे-धीरे सीएफ गॉस और जीएफबी रीमैन एट अल के काम के माध्यम से महत्व प्राप्त किया। आइए। विशेष रूप से, रीमैन दर्शाता है कि बीजगणितीय कार्य एकीकरण के सिद्धांत में सतह जीनस की अवधारणा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है - एबेलियन एकीकरण, जिसे उस समय गणित की सबसे ऊंची चोटियों में से एक माना जाता था। 19 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, वास्तविक संख्याओं की अवधारणा JWR Dedekind और MB Cantor द्वारा स्थापित की गई थी, और कैंटर द्वारा बिंदु सेट सिद्धांत का अध्ययन शुरू हुआ। ऐसी परिस्थितियों में, यह एच। पोनकारे है जो टोपोलॉजी का एक स्वतंत्र क्षेत्र स्थापित करता है। 1895 में शुरू हुई पॉइनकेयर की टोपोलॉजी पर अध्ययन की एक श्रृंखला, दो अवधारणाओं पर आधारित है: होमोटोपिक होमोटॉपिक और होमोलॉगस। जब बिंदु चलता है, तो वह वक्र बन जाता है। प्रारंभिक बिंदु को प्रारंभ बिंदु कहा जाता है, और आगमन बिंदु को अंत बिंदु कहा जाता है। रास्ते में कर्व्स इंटरसेक्ट हो सकते हैं। एक वक्र जिसका प्रारंभ बिंदु और अंत बिंदु संयोग होता है, एक बंद वक्र कहलाता है। दो बंद वक्रों को होमोटोपिक कहा जाता है जब उन्हें लगातार विकृत किया जा सकता है। परिवर्तन के दौरान वक्र अपने आप से प्रतिच्छेद कर सकता है। साथियों से यही अंतर है। जब बंद वक्र एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है, तो इसे होमोटॉप 0 बंद वक्र कहा जाता है। जब एक आकृति पर दो बंद वक्र आकृति पर लगातार ख़राब हो सकते हैं, तो इन बंद वक्रों को आकृति पर होमोटोप कहा जाता है। इसके अलावा, जब किसी आकृति पर एक बंद वक्र आकृति पर एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है, तो यह उस आकृति पर एक होमोटोप 0 कहा जाता है। आकृति 6-एक टोरस पर दो बंद कर्व्स और बी एक साथ एक दूसरे के होमोटोप हैं, और सी टोरस पर एक होमोटॉप 0 है। बंद वक्र डी अतिव्यापी बिंदुओं के साथ एक बंद वक्र है, लेकिन एक के साथ एक होमोटोप है। आकृति 6-बी जैसे, संकुचित भाग विकृत हो जाता है और धीरे-धीरे कम हो जाता है। और बी सहकर्मी हैं, लेकिन और डी सहकर्मी नहीं हैं। जो भी बंद वक्र आप गोले पर लिखते हैं, बंद वक्र गोला पर एक होमोटॉप 0 है। हालांकि, फूल की कुर्सी पर बंद वक्र एक (चित्र। 6-एक ) होमोटोप नहीं है 0. एक बंद वक्र जो होमोटॉप नहीं बन पाता है 0 आंकड़ा पर मौजूद है आंकड़ा की एक सामयिक संपत्ति है। यह इंगित करता है कि गोलाकार सतह और टोरस चरण में नहीं हैं। चूंकि होमोटॉप 0 के साथ बंद वक्र एक बिंदु तक कम हो जाता है, डिस्क को छील दिया जा सकता है (छवि)। 7-एक )। चूंकि बंद वक्र स्वयं के साथ प्रतिच्छेद कर सकता है, डिस्क स्वयं के साथ भी प्रतिच्छेद कर सकती है (चित्र) 7-बी )। आम तौर पर, जब एक बंद वक्र एक घुमावदार सतह की सीमा होती है, तो इसे होमोलॉग 0 वक्र कहा जाता है। जब दो बंद वक्र एक घुमावदार सतह की सीमा बन जाते हैं, तो दो बंद वक्र एक दूसरे के समरूप कहे जाते हैं। जब किसी आकृति पर दो बंद वक्र केवल आकृति पर एक घुमावदार सतह की सीमा होते हैं, तो इन बंद वक्रों को आकृति पर एक दूसरे के लिए होमोलोगस कहा जाता है। बंद वक्र जो एक दूसरे के समरूप हैं, एक दूसरे के समरूप हैं, और बंद कर्व जो होमोटोप 0 के हैं, 0. 0. जीनस 2 बंद सतह (आकृति) 8 ) चूँकि ऊपर बंद वक्र c , c द्वारा विभाजित घुमावदार सतह F की सीमा है, इसलिए यह इस घुमावदार सतह पर एक समरूप 0 है, लेकिन यह एक समरूप 0 नहीं है क्योंकि यह एक बिंदु तक नहीं सिकुड़ता है। जब n बंद वक्र होते हैं जो एक आकृति पर एक-दूसरे के लिए एकरूप नहीं होते हैं, और कोई भी बंद वक्र इन n बंद वक्रों के कुछ मिलन के साथ एक समरूपता बन जाता है, तो इस आकृति की एक आयामी बेट संख्या को n कहा जाता है। बेट नंबर आंकड़ा का एक चरण अपरिवर्तनीय है। जीनस जी की एक बंद सतह की एक आयामी बेट्च संख्या 2 ग्राम है । इसलिए, यह कहा जा सकता है कि बंद सतह की टोपोलॉजिकल संपत्ति का निर्धारण एक-आयामी बेथ संख्या द्वारा किया जाता है। एक बंद सतह पर, (यूलर विशेषता) = 2 one (एक आयामी बेट्च संख्या)। इस सूत्र से यह देखा जा सकता है कि यूलर विशेषता एक चरण अपरिवर्तनीय है, लेकिन इस सूत्र को यूलर-पॉइनकेयर सूत्र कहा जाता है।

टोपोलॉजी की वर्तमान स्थिति

20 वीं शताब्दी में गणित स्वयंसिद्ध रूप से अपनी टोपोलॉजी और बीजीय प्रकृति के आधार पर निर्मित है। एक स्थान जहां निरंतरता पर चर्चा की जा सकती है, उसे एक चरण स्थान कहा जाता है, और एक आकृति एक प्रकार का चरण स्थान है। बुनियादी अवधारणाएं जो चरण को परिभाषित करती हैं वे पड़ोस, खुले सेट और क्लोजर हैं। इन अवधारणाओं के आधार पर, सेट-सिद्धांत संबंधी पद्धति द्वारा टोपोलॉजिकल स्पेस और उसके सबसेट के टोपोलॉजिकल गुणों का अध्ययन करने के क्षेत्र को सेट-टॉपोलॉजिकल टोपोलॉजी या सामान्य टोपोलॉजी कहा जाता है। यह क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें कैंटर द्वारा बिंदु सेट सिद्धांत का प्रवाह शामिल है, और आयाम समस्या इस क्षेत्र से संबंधित है। इस चरण की शुरुआत में पॉइनकारे द्वारा एक चरण अपरिवर्तनीय के रूप में आयाम की अवधारणा को स्थापित करने की समस्या और पद्धति को प्रस्तुत किया गया था, लेकिन अब एल ब्रोल एट अल द्वारा गणितीय सूत्रीकरण के माध्यम से लगभग पूरा कर लिया गया है। इस सदी के पूर्वार्ध में होमोटॉप्स और होमोलॉग्स की अवधारणा को विशेष रूप से और बीजगणितीय रूप से विकसित किया गया है, जो बीजीय टोपोलॉजी के रूप में एक क्षेत्र बनाता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक बीजीय संरचना एक टोपोलॉजिकल स्पेस से जुड़ी होती है, और अंतरिक्ष के टॉपोलॉजिकल संरचना को एक बीजीय संरचना द्वारा व्यक्त किया जाता है। एक आकृति पर पूरे बंद वक्र को होमोटॉप्स की अवधारणा के साथ वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया जाता है, और इस समूह को एक मूल समूह कहा जाता है। होमोलॉग की अवधारणा द्वारा समूचा बंद समूचा वक्र भी एक समूह है और इसे एक आयामी होमोलोजी समूह कहा जाता है। गोले का एक आयामी होमोलॉजी समूह केवल इकाई तत्वों से युक्त एक समूह है, लेकिन टोरस का एक आयामी होमोलॉजी समूह पूरे पूर्णांक द्वारा बनाए गए योजक समूह Z के दो प्रत्यक्ष योगों Z + Z के लिए आइसोमोर्फिक है। समूह संरचना में ये अंतर गोलाकार सतह और टोरस के बीच चरण संरचना में अंतर को व्यक्त करते हैं। बुनियादी समूहों और एक आयामी होमोलॉजी समूहों का विस्तार उच्च-क्रम वाले होमोटॉपी समूहों और होमोलॉजी समूहों के लिए किया जाता है, लेकिन 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, अंतरिक्ष के अनुरूप बीजगणितीय संरचना तेजी से विविध और परिष्कृत होती है, और बीजगणितीय टोपोलॉजी को एक मौलिक माना जाता है। टोपोलॉजी में क्षेत्र।

विविध

उच्च आयामीता की अवधारणा पहले से ही 19 वीं शताब्दी के मध्य के आसपास स्थापित की गई थी, लेकिन उच्च आयामी घुमावदार सतहों की अवधारणा रीमैन के कारण है। 20 वीं शताब्दी की पहली छमाही में रीमैन द्वारा उच्च आयामी घुमावदार सतहों विविध कई गुना के रूप में तैयार, कई गुना गणित में एक मूल आकृति के रूप में माना जाता है, और इसका सामयिक अनुसंधान टोपोलॉजिकल ज्यामिति का एक केंद्र है। उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजिकल संरचना अक्सर होम्योपैथी सिद्धांत के माध्यम से बीजीय टोपोलॉजी के अध्ययन के परिणामस्वरूप होती है, लेकिन तीन-आयामी और चार-आयामी कई गुना के टॉपोलॉजिकल संरचनाओं के अध्ययन में अंतर्निहित कठिनाइयां हैं। "एक 3 डी बंद मैनिफोल्ड की समस्या, जिसका मूल समूह केवल इकाई तत्व होते हैं, एक 3 डी क्षेत्र के साथ चरण में है" पोनकारे द्वारा प्रस्तुत किया गया था और कहा जाता है कि यह पोनकारे के पॉइनकेरे अनुमान के अनुसार है, लेकिन यह अभी तक पूरी तरह से हल नहीं हुआ है। डिफरेंशियल मैनिफोल्ड कई गुना है जिसे प्रत्येक बिंदु के आसपास के क्षेत्र में विभेदित किया जा सकता है, और सहज रूप से एक सुचारु रूप से कई गुना है। इसलिए, अंतर कई गुना पर विश्लेषण संभव है। अंतर मैनिफ़ेस्ट पर विश्लेषण टोपोलॉजी और विश्लेषण के बीच संपर्क का एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और कई महत्वपूर्ण मुद्दे हैं जैसे अंतर मैनिफ़ेस्ट पर अंतर संरचना पर शोध और अंतर मैनिफ़ेस्ट के बीच विभेदीकृत मानचित्रों पर शोध। चूंकि मिलनर JWMilnor ने 1956 में पता लगाया कि <काफी अलग अंतर संरचनाएं सात-आयामी क्षेत्र पर मौजूद हैं>, मिलनर ने इस क्षेत्र को अंतर टोपोलॉजी के साथ विकसित किया। इसे नाम दिया गया है। टॉम आर थॉम द्वारा, डायनेमिक सिस्टम का सामयिक अध्ययन तबाही सिद्धांत आदि इसी क्षेत्र के हैं।

एकल और जटिल

Poincaré ने एक साधारण आंकड़े के रूप में निर्माण किया - एक एकल संग्रह, या जटिल, सख्ती से होमोलॉजी की अवधारणा को पेश करने के लिए। एक शून्य-आयामी सिंप्लेक्स एक बिंदु है, एक-आयामी सिम्प्लेक्स एक लाइन सेगमेंट है, एक दो-आयामी सिम्प्लेक्स एक त्रिभुज (इंटीरियर सहित) है, और एक त्रि-आयामी सिम्प्लेक्स टेट्राहेड्रोन (अंजीर) है। 9 )। सामान्य तौर पर, एक n- आयामी सिम्प्लेक्स एक न्यूनतम उत्तल निकाय होता है, जिसमें ( n + 1) एक n- आयामी यूक्लिडियन स्थान में स्वतंत्र बिंदु होते हैं। एक पॉलीहेड्रॉन एक आकृति है जो कई सिम्प्लेक्स से बना होता है जो सिम्पलेक्स किनारों से जुड़ते हैं। एक कॉम्प्लेक्स एक गणितीय संरचना है जो एक सरल पदार्थ पर विचार करता है और इसे कैसे संयोजित किया जाए, और इसे पॉलीहेड्रॉन पर एक संरचना माना जाता है। इस संरचना का उपयोग करके पॉलीहेड्रा के टोपोलॉजिकल गुणों का अध्ययन करने के क्षेत्र को कॉम्बीनेटरियल टोपोलॉजी या पीएल टोपोलॉजी पीसवाइज़ रैखिक टोपोलॉजी कहा जाता है। पॉलीहेड्रॉन जो आकार में जटिल हैं, चरण में हैं। दूसरी ओर, <की समस्या चाहे एक इन-फेज पॉलीहेड्रॉन एक आइसोमोर्फिक जटिल संरचना बन जाती है, जब इसकी जटिल संरचना को उचित रूप से उप-विभाजित किया जाता है> को कॉम्बिनेटरियल टोपोलॉजी की बुनियादी अपेक्षा कहा जाता था, लेकिन 61 में मिलनर द्वारा नकारात्मक को हल किया गया था। चाहे पॉलीहेड्रॉन के साथ चरण कई गुना की समस्या को कई गुना की त्रिकोणीय समस्या कहा जाता है, और अंतर कई गुना 1935 में केर्न्स एसएसकेयर्स द्वारा सकारात्मक रूप से हल किया गया था। यह ज्ञात है कि ऐसी चीजें हैं जो चरण में नहीं हैं।

निश्चित बिंदु प्रमेय

टोपोलॉजिकल रिसर्च में, आंकड़ों की टोपोलॉजिकल संरचना और साथ ही आंकड़ों के बीच निरंतर मानचित्रण का अध्ययन एक महत्वपूर्ण मुद्दा है। यदि डिस्क से डिस्क तक निरंतर मैपिंग स्वयं f है , तो एक बिंदु है जहां f ( P ) = P , यानी एक निश्चित बिंदु है। यह प्रमेय है निश्चित बिंदु प्रमेय कहा जाता है। निश्चित बिंदु प्रमेय व्यापक रूप से सामान्यीकृत है और इसमें अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है। न केवल अंतर समीकरणों के समाधान का अस्तित्व प्रमेय, बल्कि संख्या सिद्धांत में समाधानों के अस्तित्व की समस्या भी है जो पहली नज़र में निरंतरता से बहुत दूर लगती है, आवेदन का दायरा जैसे अर्थशास्त्र में संतुलन राज्यों का अस्तित्व व्यापक है।

टोपोलॉजी के लिए चार रंग की समस्या यद्यपि इस तरह एक अपेक्षाकृत पृथक समस्या है, यह एक संपूर्ण के रूप में एक कार्बनिक अनुसंधान प्रणाली बनाता है, और 20 वीं शताब्दी के गणित की नींव के रूप में, यह गणित के सभी क्षेत्रों में गहराई से प्रवेश करता है।
जूनो ताओ

स्रोत World Encyclopedia
टोपोलॉजी दोनों। ज्यामितीय आंकड़ों (रिक्त स्थान) की स्थलीय प्रकृति का अध्ययन करने के लिए ज्यामिति का विभाजन। जब अंतरिक्ष ए से बी का मैपिंग एक से एक है, निरंतर, और बी से ए के विपरीत रिवर्स मैपिंग भी निरंतर है, इस मैपिंग को चरण मैपिंग कहा जाता है, ए और बी चरण में इनवेंटर गुणों के रूप में कहा जाता है मैपिंग, यानी, एक ही चरण के रिक्त स्थान के लिए आम संपत्ति को स्थलीय संपत्ति कहा जाता है। टोपोलॉजी की शास्त्रीय समस्याओं में पॉलीहेड्रॉन यूलर के प्रमेय , कोनिग्सबर्ग की पुल समस्या , चार रंग चार रंग की समस्या शामिल है । → चरण अंतरिक्ष / चरण गणित / गणित
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स्रोत Encyclopedia Mypedia