विश्लेषण

english analysis

सारांश

  • पूरी तरह से घटक भागों की जांच और पूरे संबंध बनाने में उनके संबंध
  • अंतर्निहित उद्देश्यों और विभिन्न मानसिक विकारों का इलाज करने की एक विधि की खोज के लिए तकनीकों का एक सेट; सिगमंड फ्रायड के सिद्धांतों के आधार पर
    • उसके चिकित्सक ने मनोविश्लेषण की सिफारिश की
  • भागों और उनके संबंधों का अध्ययन करने के लिए पूरे घटक को अपने घटक भागों में अलग करना
  • गणित की एक शाखा जिसमें गणित और सीमा के सिद्धांत शामिल हैं; अनुक्रम और श्रृंखला और एकीकरण और भिन्नता शामिल है
  • साहित्यिक आलोचना का एक रूप जिसमें लेखन के एक टुकड़े की संरचना का विश्लेषण किया जाता है
  • प्रतिबिंबों के बजाय बंद वर्ग के शब्दों का उपयोग: उदाहरण के लिए, 'दुल्हन के पिता' की बजाय 'दुल्हन का पिता'

अवलोकन

गणितीय विश्लेषण सीमाओं और संबंधित सिद्धांतों, जैसे भेदभाव, एकीकरण, माप, अनंत श्रृंखला, और विश्लेषणात्मक कार्यों से निपटने वाले गणित की शाखा है।
इन सिद्धांतों का आमतौर पर वास्तविक और जटिल संख्याओं और कार्यों के संदर्भ में अध्ययन किया जाता है। विश्लेषण कैलकुस से विकसित हुआ, जिसमें प्राथमिक अवधारणाओं और विश्लेषण की तकनीक शामिल है। विश्लेषण ज्यामिति से अलग किया जा सकता है; हालांकि, इसे गणितीय वस्तुओं के किसी भी स्थान पर लागू किया जा सकता है जिसमें निकटता (एक स्थलीय स्थान) या वस्तुओं (एक मीट्रिक स्पेस) के बीच विशिष्ट दूरी की परिभाषा है।

विश्लेषण बीजगणित और ज्यामिति के साथ गणित के प्रमुख विभाजनों में से एक है। 17 वीं शताब्दी की शुरुआत में आर। डेसकार्टेस, प्रतीकात्मक अंकगणित को अस्पष्ट रूप से विश्लेषण कहा जाता था। इसलिए, 17 वीं शताब्दी के अंत में आई। न्यूटन और जीडब्ल्यू लिबनिज द्वारा खोजे गए अंतर एकीकरण विधि को अनैच्छिक विश्लेषण भी कहा जाता था। वर्तमान में, गणित का क्षेत्र, जिसका मुख्य विषय अनंत की सीमा अवधारणा है, को सामूहिक रूप से विश्लेषणात्मक विज्ञान कहा जाता है।

न्यूटन और लिबनिट्ज द्वारा खोजा गया अंतर एकीकरण विधि पहली बार 19 वीं शताब्दी में ए। कॉची द्वारा आयोजित किया गया था। उनकी दो पुस्तकें (1821 और 23) चरमपंथ की अवधारणा पर आधारित एनालिटिक्स के मूल सिद्धांतों का वर्णन करती हैं, जो उस समय तक एक साधारण प्रतीकात्मक ऑपरेशन के रूप में कैलकुलस से दूर जा रही हैं। जापान में विश्वविद्यालय के पहले वर्ष में कैलकुलस का वर्तमान पाठ्यक्रम लगभग कौची द्वारा आयोजित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, चर और कार्यों की परिभाषा, निरंतरता, अनंत श्रृंखला के अभिसरण और विचलन, व्युत्पन्न और अभिन्न की परिभाषा, औसत मूल्यों के प्रमेय, आदि का वर्णन किया गया है। यद्यपि ऐसे कई भाग हैं जो आज के दृष्टिकोण से आंशिक रूप से अपर्याप्त हैं, उन्हें उस समय तक की खामियों की तुलना में एक उल्लेखनीय डिग्री के साथ विकसित किया जाता है।

19 वीं शताब्दी के मध्य में, एक तरफ कॉची, जी लेहमैन, के। वेर्स्ट्रस आदि द्वारा कैलकुलस विकसित किया गया, जो जटिल चर के कार्यों का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक कार्य सिद्धांत की दिशा में सामान्यीकृत है। इसलिए, एनालिटिक्स की बुनियादी अवधारणाओं को स्थापित और परिष्कृत करके, वास्तविक चर फ़ंक्शन सिद्धांत का क्षेत्र बनाया गया था। पूर्व क्षेत्र को जटिल फ़ंक्शन सिद्धांत, या बस फ़ंक्शन सिद्धांत कहा जाता है, और बाद वाले को वास्तविक फ़ंक्शन सिद्धांत कहा जाता है। वास्तविक कार्य सिद्धांत की दिशा तथाकथित फूरियर श्रृंखला से उत्पन्न होती है जो जे.फॉयर के गर्मी चालन पर प्रसिद्ध पेपर (1812) में दिखाई देती है। यही है, पी। डिरिचलेट ने फूरियर श्रृंखला (1829, 37) पर दो पत्रों में एक फ़ंक्शन की एक आधुनिक परिभाषा स्थापित की, लेकिन बाद में रिमान ने अभिन्न (1854) की सामान्य परिभाषा स्थापित की, और जी। कैंटर को लगता है कि फूरियर श्रृंखला एक थी तर्कहीन संख्या सिद्धांत और सेट सिद्धांत (1872) के निर्माण के लिए प्रोत्साहन। इसके अलावा, 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, एच। लेब्सेग ने उनके नाम पर माप की अवधारणा पेश की और इसके आधार पर लेब्सेग इंटीग्रल्स के सिद्धांत की स्थापना की। वास्तविक फ़ंक्शन सिद्धांत कोर के रूप में लेबेस लीग एकीकरण सिद्धांत के साथ विकसित हुआ है, और फूरियर श्रृंखला और फूरियर विश्लेषण में कई उल्लेखनीय परिणाम प्राप्त हुए हैं, लेकिन लेबेग एकीकरण सिद्धांत बाद में वर्णित कार्यात्मक विश्लेषण में एक मौलिक भूमिका निभाता है, और इसका अभाव है एक सिद्धांत यह नहीं हो सकता है किया हुआ।

एक अज्ञात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न वाले समीकरण को एक अज्ञात वाले सामान्य समीकरण की तुलना में एक अंतर समीकरण कहा जाता है। न्यूटन के गति के समीकरण को दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है, इसलिए सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के कारण ग्रह की गति भी दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा व्यक्त की जाती है। इस तरह, प्रकृति के नियमों के कई अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित हैं, इसलिए अंतर समीकरण सिद्धांत की गणना कैलकुलस के रूप में एक ही समय में की गई थी। न्यूटन ने इन अंतर समीकरणों को हल किया, और 18 वीं शताब्दी के पहले छमाही में व्यक्तिगत समीकरणों को व्यक्तिगत तरीकों (द्विघात विधि) द्वारा हल करने पर जोर दिया गया था, लेकिन 18 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, अनंत श्रृंखला द्वारा समाधानों का अध्ययन किया गया था। वह हो गया था। इसके अलावा, चूंकि कॉची ने समाधान (1820) के अस्तित्व की समस्या का अध्ययन किया, सैद्धांतिक अनुसंधान विकसित हुआ है।

अज्ञात फ़ंक्शंस के आंशिक व्युत्पन्न, यानी आंशिक अंतर समीकरणों सहित समीकरणों का अध्ययन पहली बार जे। डी। एलेबर्ट और एल। यूलर द्वारा किया गया था जो तरल गतिकी से संबंधित शारीरिक समस्याओं से निपटने के लिए थे, और समाधान के अस्तित्व प्रमेय को एस द्वारा प्रकाशित किया गया था। कोवालेवस्काया (1875)। शारीरिक समस्याओं के संबंध में, सीमा मूल्य की समस्याएं और द्वितीय-क्रम के आंशिक आंशिक अंतर समीकरणों के प्रारंभिक मूल्य की समस्याओं का मुख्य रूप से 19 वीं शताब्दी तक अध्ययन किया गया था, और 20 वीं शताब्दी में प्रवेश करने के बाद, कार्यात्मक विश्लेषण तकनीकों को लागू करके, अध्ययन में दिखाई देने वाली गैर-रैखिक समस्याएं। चिपचिपा तरल पदार्थ, और क्वांटम यांत्रिकी में Schroedinger समीकरण पर अनुसंधान विकसित किया गया है।

एन। हाबिल ने एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गिरने वाले द्रव्यमान के प्रक्षेपवक्र के आकार और गिरने के समय (1823) के बीच संबंधों पर चर्चा की। गिरावट के समय और प्रक्षेपवक्र के प्रारंभ और अंत बिंदुओं को देखते हुए, और यह मानते हुए कि प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला फ़ंक्शन एक अज्ञात फ़ंक्शन है, जिसे प्राप्त करने की समस्या अज्ञात फ़ंक्शन और इसके समग्र फ़ंक्शन के एकीकरण सहित एक समीकरण द्वारा व्यक्त की जाती है। इस तरह के समीकरण को एक अभिन्न समीकरण कहा जाता है। इसके अलावा, परिवर्तनशील विधि फ़ंक्शन को खोजने के लिए है जो निर्दिष्ट सीमा स्थितियों को पूरा करने वाले कार्यों के बीच संबंधित वास्तविक मूल्य को कम करता है, जैसे कि प्रक्षेपवक्र के दोनों अंत बिंदुओं को देकर पतन समय को कम करने की समस्या। । 19 वीं शताब्दी के बाद से व्यक्तिगत प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए इंटीग्रल समीकरणों और परिवर्तनीय तरीकों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है, लेकिन 20 वीं शताब्दी में एकीकृत सिद्धांत स्थापित किए गए हैं। शोध का विषय बन गया।

कार्यात्मक विश्लेषण की विशेषता, जिसे 20 वीं शताब्दी में स्थापित किया गया था, व्यक्तिगत कार्यों का अध्ययन करने के लिए नहीं है, बल्कि उन कार्यों के एक सेट पर विचार करने के लिए है जो एक निश्चित स्थिति को एक स्थान (फ़ंक्शन स्थान) के रूप में संतुष्ट करते हैं। यह वेक्टर अंकगणितीय और अभिसरण की अवधारणाओं से संबंधित है। इस मामले में, भेदभाव और एकीकरण जैसे संचालन को फ़ंक्शन स्पेस में बिंदुओं से फ़ंक्शन स्पेस में पॉइंटिंग के लिए मैपिंग के रूप में माना जाता है, और आमतौर पर ऑपरेटर कहा जाता है। कार्यात्मक विश्लेषण में, ऑपरेटर अनुसंधान का मुख्य विषय होते हैं, लेकिन लेब्सगेग एकीकरण का उपयोग सामान्य सिद्धांत को विकसित करने और कई उपयोगी फ़ंक्शन रिक्त स्थान के निर्माण के लिए किया जाता है जो विशेष रूप से नियंत्रित होते हैं। लेब्सेग एकीकरण में, विभिन्न सीमा ऑपरेशन बहुत ही सरल परिस्थितियों में किए जाते हैं, और यह इसकी उपयोगिता का एक विशिष्ट उदाहरण है कि इसका उपयोग करने वाले फ़ंक्शन स्थान एक पूर्ण मीट्रिक स्थान बन जाता है। । कार्यात्मक विश्लेषण की पहली उपलब्धि डी। हिल्बर्ट के पत्रों का संग्रह (1912) था, जिसमें अभिन्न समीकरणों पर फ्रेडहोम के प्रमेय का अमूर्त समावेश था, इसके बाद एस। बानाच ने अपनी पुस्तक "रैखिक ऑपरेटर सिद्धांत" (1932) में शामिल किया। मैदान की नींव रखी। हिल्बर्ट स्पेस और बानाच स्पेस के नाम, जो अभी भी महत्वपूर्ण शोध विषय हैं, इन दो लोगों के अग्रणी काम पर आधारित हैं। इसके अलावा, आंशिक अंतर समीकरणों के अनुप्रयोग ने 20 वीं शताब्दी के मध्य में एल। श्वार्ट्ज द्वारा बनाई गई सतहीकरण के सिद्धांत के कारण महत्वपूर्ण प्रगति की है।

जैसा कि ऊपर वर्णित है, विश्लेषण सहित फ़ील्ड्स की एक विस्तृत श्रृंखला है, जिसमें कैलकुलस शामिल हैं, इसके बाद अंतर समीकरणों, अभिन्न समीकरणों, परिवर्तनशील विधियों, वास्तविक फ़ंक्शन सिद्धांत, जटिल चर फ़ंक्शन सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण शामिल हैं।
कियोजो इतो

स्रोत World Encyclopedia
गणित विभाग का सामान्य नाम जिसका मुख्य उद्देश्य सीमा अवधारणा है। इसमें कार्यात्मक सिद्धांत , अंतर समीकरण सिद्धांत, अभिन्न समीकरण सिद्धांत, विविधता पद्धति ( विविधता ), कार्यात्मक विश्लेषण भिन्न अभिन्न सिद्धांत से विकसित कार्यों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है। → विश्लेषण / विश्लेषण ज्यामिति
चरण गणित भी देखें | कौची | असली परिवर्तनीय समारोह सिद्धांत | लाप्लास
स्रोत Encyclopedia Mypedia
यह प्राथमिक ज्यामिति का एक निर्माण विषय है, यह माना जाता है कि प्राप्त करने के लिए एक आंकड़ा प्राप्त किया जाता है, आंकड़े से संबंधित एक आवश्यक शर्त की जांच की जाती है, और उसके बाद रिवर्स में निर्माण विधि खोजने का एक तरीका होता है। यह विश्लेषिकी को भी संदर्भित करता है। → विश्लेषणात्मक ज्यामिति
स्रोत Encyclopedia Mypedia