श्रृंखला

english series

सारांश

  • आगे बढ़ने का कार्य (एक लक्ष्य की ओर)
  • अभिव्यक्तियों के एक सीमित या अनंत अनुक्रम का योग
  • एक आवधिक जो निर्धारित समय पर दिखाई देता है
  • कार्यक्रमों का क्रमबद्ध सेट
    • एक कॉमेडी श्रृंखला
    • मास्टरवर्क कॉन्सर्ट श्रृंखला
  • एक आंदोलन आगे
    • उन्होंने सैनिकों की प्रगति की बात सुनी
  • कई प्रतियोगिताओं ने लगातार एक ही टीम द्वारा खेला
    • विज़िटिंग टीम ने श्रृंखला को घुमाया
  • इसी तरह की चीजें क्रम में रखी जाती हैं या एक के बाद एक होती हैं
    • वे बैंक चोरी की एक श्रृंखला की जांच कर रहे थे
  • डाक टिकटों का एक समूह जिसमें एक आम थीम या सिक्कों या मुद्रा का समूह होता है जो अध्ययन या संग्रह के लिए समूह के रूप में चुने जाते हैं
    • डाकघर ने प्रसिद्ध अमेरिकी मनोरंजन करने वाले एक श्रृंखला जारी की
    • उनके सिक्का संग्रह में भारतीय-प्रमुख पेनीज़ की पूरी श्रृंखला शामिल थी
  • अग्रिम की एक निश्चित पैटर्न के साथ एक श्रृंखला
  • घटकों का कनेक्शन इस तरह से होता है कि वर्तमान में पहले प्रवाह होता है और फिर दूसरे के माध्यम से होता है
    • वोल्टेज विभक्त में निश्चित प्रतिरोधकों की एक श्रृंखला शामिल थी

अवलोकन

गणित में, एक श्रृंखला , मोटे तौर पर बोल रही है, एक निश्चित प्रारंभिक मात्रा में, असीमित रूप से कई मात्राओं को जोड़ने के संचालन का विवरण। श्रृंखला का अध्ययन कैलकुस और इसके सामान्यीकरण, गणितीय विश्लेषण का एक प्रमुख हिस्सा है। श्रृंखला का उपयोग गणित के अधिकांश क्षेत्रों में किया जाता है, यहां तक ​​कि कार्यों को उत्पन्न करने के माध्यम से परिमित संरचनाओं (जैसे संयोजन में) का अध्ययन करने के लिए भी। गणित में उनकी सर्वव्यापीता के अलावा, अनंत श्रृंखला का व्यापक रूप से भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी और वित्त जैसे अन्य मात्रात्मक विषयों में भी उपयोग किया जाता है।
लंबे समय तक, विचार यह है कि इस तरह के एक संभावित अनंत सारांश एक सीमित परिणाम उत्पन्न कर सकता है गणितज्ञों और दार्शनिकों द्वारा विरोधाभासी माना जाता था। 1 9वीं शताब्दी के दौरान एक सीमा की अवधारणा का उपयोग करके इस विरोधाभास को हल किया गया था। एंजिल और कछुए के जेनो के विरोधाभास ने अनंत रकम की इस प्रतिद्वंद्वी संपत्ति को दिखाया: एचिलीस कछुआ के बाद दौड़ता है, लेकिन जब वह दौड़ की शुरुआत में कछुआ की स्थिति तक पहुंच जाता है, तो कछुआ दूसरी स्थिति तक पहुंच गया है; जब वह इस दूसरी स्थिति तक पहुंच जाता है, तो कछुआ तीसरे स्थान पर होता है, और इसी तरह। ज़ेनो ने निष्कर्ष निकाला कि एचिलीस कभी कछुए तक नहीं पहुंच सकता है, और इस प्रकार आंदोलन मौजूद नहीं है। ज़ेनो ने अनगिनत कई उप-दौड़ में दौड़ को विभाजित किया, प्रत्येक को सीमित समय की आवश्यकता होती है, ताकि कचरे को पकड़ने के लिए एचिलीस के लिए कुल समय एक श्रृंखला द्वारा दिया जाता है। विरोधाभास का संकल्प यह है कि, हालांकि श्रृंखला में असीमित संख्याएं हैं, लेकिन इसमें एक सीमित योग है, जो एचिलीस के कछुए को पकड़ने के लिए आवश्यक समय देता है।
आधुनिक शब्दावली में, किसी भी (आदेशित) अनंत अनुक्रम (एक 1, एक 2, एक 3, ...) {\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)} शर्तों के अनुसार (जो है संख्याएं, कार्य, या जो कुछ भी जोड़ा जा सकता है) एक श्रृंखला को परिभाषित करता है, जो कि एआई {\ displaystyle a_ {i}} को एक दूसरे के बाद जोड़ने का संचालन है। जोर देने के लिए कि शब्दों की एक अनंत संख्या है, एक श्रृंखला को अनंत श्रृंखला कहा जा सकता है। ऐसी श्रृंखला को अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया गया है (या दर्शाया गया है)

एक निश्चित नियम के अनुसार अनुक्रम में व्यवस्थित संख्याओं या कार्यों के अनुक्रम को क्रमशः एक अनुक्रम या फ़ंक्शन अनुक्रम कहा जाता है, और एक अभिव्यक्ति जिसमें इन स्तंभों को क्रमिक रूप से योजक प्रतीकों द्वारा संयोजित किया जाता है, एक श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए, {1, 3, 5, 7, ...}, {1, 2, 4, 8, ...} क्रम हैं, और संबंधित श्रृंखला 1 + 3 + 5 + 7 + ... हैं। क्रमशः 1 + 2 + 4 + 8 + ...। प्रत्येक तत्व जो एक अनुक्रम, फ़ंक्शन अनुक्रम या श्रृंखला बनाता है, उसे उस अनुक्रम, फ़ंक्शन अनुक्रम या श्रृंखला के लिए शब्द कहा जाता है। एक श्रृंखला जिसमें प्रत्येक पद और अगले पद के बीच का अंतर स्थिर होता है जैसा कि ऊपर दिए गए पहले उदाहरण में एक अंकगणितीय श्रृंखला या अंकगणितीय श्रृंखला है, और प्रत्येक पद और अगले पद के रूप में दूसरे उदाहरण में है। एक श्रृंखला जिसका अनुपात स्थिर है उसे एक अंकगणितीय श्रृंखला या ज्यामितीय श्रृंखला कहा जाता है। इसके अलावा, श्रृंखला जिनके अंकगणितीय श्रृंखला के प्रत्येक शब्द का पारस्परिक है, शब्द को हार्मोनिक श्रृंखला कहा जाता है। एक सीमित संख्या वाले पदों को एक परिमित श्रृंखला कहा जाता है, और एक अनंत संख्या वाली श्रृंखला को कभी-कभी एक अनंत श्रृंखला कहा जाता है, लेकिन एक श्रृंखला का आमतौर पर एक अनंत श्रृंखला का मतलब होता है।

अनंत श्रृंखला एक 1 + 2 + एक n ...... + एक + ...... औपचारिक रूप से पहले n शब्द है00402601 द्वारा दर्शाया गया है। कुल योग अवधि तकको nth आंशिक योग, या केवल आंशिक योग कहा जाता है। एक श्रृंखला के उदाहरण के रूप में जिसमें एक सरल अभिव्यक्ति द्वारा एसई का प्रतिनिधित्व किया जाता है,हैवगैरह है। इसके अलावा < अंकगणितीय प्रगति 〉〉 ज्यामितीय अनुक्रम >, जैसा कि आइटम में बताया गया हैअनुक्रम एक निर्दिष्ट श्रृंखला के आंशिक योग की {s n} में, यदि रों n दृष्टिकोण n हो जाता है जब असीम बड़े, यह है कि, अनुक्रम {s n} है सीमा मूल्य रों एक निश्चित मूल्य असीम है। फिर, यह कहा गया है कि श्रृंखला और converges और राशि रों है, या रों को converges है।
लिखो। अन्य मामलों में, श्रृंखला को मोड़ने के लिए कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जैसा कि आप (1) से देख सकते हैं
हालांकि,आरेख। इसके अलावा, जैसा कि आप (3), ज्यामितीय श्रृंखला से देख सकते हैं\ (\ frac {a} {(1-r)} \) में कनवर्ट करता है यदि | आर | <1, और विचलन यदि | आर | ≧ १।

एक श्रृंखला जो अभिसरण करती है, जब प्रत्येक पद का निरपेक्ष मान लेकर बनाई गई श्रृंखला भी परिवर्तित हो जाती है, मूल श्रृंखला को पूर्ण अभिसरण कहा जाता है, और जब नहीं, तो इसे सशर्त अभिसरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर (4) में श्रृंखला या ज्यामितीय प्रगति जब | आर | <१पूर्ण अभिसरण है। इसके अलावा, एक श्रृंखलाहैअभिसरण करता हैहै00403601a को विचलन के लिए जाना जाता है,सशर्त अभिसरण है।

एक श्रृंखला जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं जिनकी शर्तें ऋणात्मक नहीं होती हैं उन्हें एक सकारात्मक श्रृंखला कहा जाता है। चूंकि सकारात्मक श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम अखंड रूप से बढ़ रहा है, यह नियमित श्रृंखला के अभिसरण और आंशिक रकमों के बंधे अनुक्रम के बराबर है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि शर्तों का क्रम कैसे बदला जाता है, सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण / विचलन में परिवर्तन नहीं होता है, और जब यह परिवर्तित होता है, तो योग नहीं बदलता है। कई अभिसरण परीक्षण सकारात्मक श्रृंखला के लिए जाने जाते हैं, लेकिन यहां कुछ उदाहरण हैं। Σ जब एक n Seiko श्रृंखला में एक घटता क्रम {a n} है, (1) Σ a n हैया diverges 00403801. के रूप में एक ही समय (2) [1 पर, ∞) द्वारा, अगर वहाँ होगा- में कम हो रही है समारोह (ची) (एन) = एक n परिभाषित करता है, Σ एक n औरया विचलन उसी समय 00403901 के रूप में। उदाहरण के लिए Σ 1 / n α तब परिवर्तित होता है जब α conver 1 और धर्मान्तरित होता है जब α> 1. इसके अलावा, Σ एक एन, Σ जब ख n एक सकारात्मक श्रृंखला एक सकारात्मक निरंतर कश्मीर और एक nकेबी है n n की एक सीमित संख्या के अलावा धारण नहीं है, तो यह है, Σ जब b n अभिसरित होता है Σ एक n भी अभिसरण, Σ जब एक एन डाइवर्जेस Σ b n भी विचलन करता है।

फ़ंक्शन शब्दों की श्रृंखला में, परिवर्तनीय और विचलन की परिस्थितियां चर के मूल्य के आधार पर बदलती हैं। एक चर के मानों की श्रेणी जो श्रृंखला को अभिसरण करने का कारण बनती है उसे श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र कहा जाता है। फ़ंक्शन शर्तों की श्रृंखला इसके अभिसरण क्षेत्र में एक योग फ़ंक्शन को परिभाषित करती है।(एक एन एक स्थिरांक है) को पावर सीरीज पावर श्रृंखला का एक रूप कहा जाता है जो फ़ंक्शन टर्म श्रृंखला के प्रतिनिधि हैं। इस बारे में

00404101 का व्युत्क्रम R है, तो श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र है | x | एक या आर के दोनों उदाहरण के लिए कहा, एक श्रृंखला की एक श्रृंखला - <समग्र आर एक्स, या एक्स = आर, हो जाता हैके लिए, ऊपर आर के 1 रहे हैं, लेकिन अभिसरण क्षेत्र के सभी एक्स के पूरे है ऐसा है कि | x | <1, -1 <x <1, -1 ≤ x series 1. पावर श्रृंखला पथरी और फलन सिद्धांत में कार्यों को प्रदर्शित करने में एक प्रमुख भूमिका निभाती है, और अनुप्रयोगों में फ़ंक्शन मानों की अनुमानित गणना के साधन के रूप में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
सिजो इटो

स्रोत World Encyclopedia