الهندسة

english geometry

ملخص

  • الرياضيات البحتة للنقاط والخطوط والمنحنيات والأسطح

نظرة عامة

الهندسة (من اليونانية القديمة: γεωμετρία . الجيولوجية "الأرض"، -metron "قياس") هي فرع من الرياضيات الذي يهتم مسائل الشكل والحجم والموقع النسبي من الشخصيات، وخصائص الفضاء. يطلق على عالم الرياضيات الذي يعمل في مجال الهندسة مقياس جغرافي.
نشأت الهندسة بشكل مستقل في عدد من الثقافات المبكرة كطريقة عملية للتعامل مع الأطوال والمناطق والمجلدات. بدأت الهندسة في رؤية عناصر من العلوم الرياضية الرسمية تظهر في الغرب منذ القرن السادس قبل الميلاد. بحلول القرن الثالث قبل الميلاد ، وضعت الهندسة في شكل بديهي من قبل إقليدس ، الذي وضع علاجه ، عناصر إقليدس ، معيارًا لقرون عديدة لاتباعه. نشأت الهندسة بشكل مستقل في الهند ، مع النصوص التي توفر قواعد للإنشاءات الهندسية التي ظهرت في القرن الثالث قبل الميلاد. حافظ العلماء الإسلاميون على الأفكار اليونانية وتوسعوا فيها خلال العصور الوسطى. بحلول أوائل القرن السابع عشر ، كانت الهندسة قد وضعت على أساس تحليلي صلب من قبل علماء الرياضيات مثل رينيه ديكارت وبيير دي فيرمات. منذ ذلك الحين ، وفي الأزمنة الحديثة ، توسعت الهندسة لتشمل هندسة متعددة الثقافات وشعبها ، حيث تصف المساحات التي تقع خارج النطاق الطبيعي للتجربة البشرية.
بينما تطورت الهندسة بشكل كبير على مر السنين ، إلا أن هناك بعض المفاهيم العامة التي تعتبر أساسية إلى حد ما في الهندسة. يتضمن ذلك مفاهيم النقاط والخطوط والطائرات والأسطح والزوايا والمنحنيات ، بالإضافة إلى المفاهيم الأكثر تطوراً عن المشعبات والطوبولوجيا أو القياس.
الهندسة لها تطبيقات على العديد من المجالات ، بما في ذلك الفن والهندسة المعمارية والفيزياء ، وكذلك إلى فروع أخرى من الرياضيات.

بشكل عام ، يتم توضيح أن الهندسة هي رياضيات مرتبطة بالأشكال ، لكن الأشياء والمحتويات وأساليب الهندسة تغيرت بشكل كبير مع الزمن ، وتم توسيع النطاق بشكل كبير ، والآن أصبحت الهندسة تشملهم جميعًا. لا يمكن تعريف الهندسة. ومع ذلك ، في الرياضيات المسماة الهندسة ، غالبًا ما تتم دراستها اعتمادًا على حدس الأشكال أو تشابهها. الهندسة مشتق من الكلمة اليونانية Geōmetria ، والتي تعني "قياس الأرض" ، والهندسة هي كلمة استفهام تعني السؤال الكمي في اللغة الصينية ، وهي كلمة تقليدية مأخوذة من الصين. أدناه ، دعنا نلقي نظرة على الأشكال الهندسية المختلفة أثناء متابعة الانتقال التاريخي.

الهندسة اليونانية

كما يشير أصل علم الهندسة ، تطورت الهندسة من المسح. أي ، في مصر القديمة ، تم تطوير تقنيات المسح لإعادة إنتاج حدود الأرض التي دمرتها سيوف النيل ، والتي تراكمت المعرفة حول الأشكال ، والتي تم جمعها أيضًا في اليونان بواسطة ميليتس تاليس وفيثاغورس. لقد غرق ودرس بعقلانية وتطور إلى هندسة. يعرف تاليس أن المسح غير المباشر يتم باستخدام حقيقة أن المثلثات يتم تحديدها من خلال زاويتين وجوانبهما المحصورة ، وفي مدرسة فيثاغورس ، التي يُقال إنها أثبتت نظرية المربعات الثلاثة ، تستند معرفة الأشكال إلى البراهين. قد تم. تم تنقيح أساليب ومنطق الإثبات من قبل أفلاطون ومدرسته بتأمل عميق ، وتم تطوير أفكار التعاريف والمسلمات والبديهيات. الأسطورة التي كتبها أفلاطون عند مدخل أكاديمية المدرسة ، "لا يُسمح لأي شخص لا يعرف الهندسة بالدخول" ، تخبرنا إلى أي مدى شدد على الهندسة. بهذه الطريقة ، تم تشكيل الهندسة كنظام منطقي ، والذي وصفه إقليدس. ستوكيا محبوك ويترك للأجيال القادمة. هذا الكتاب المكون من 13 مجلدًا ، والذي يتضمن نظرية الأعداد ونظرية الأعداد غير المنطقية ، يدور بشكل أساسي حول الهندسة. ما نسميه الآن الهندسة الأولية هو وراثة وامتداد هذا الجزء الهندسي. ساهم "Stoikeia" بشكل كبير في تطوير العلوم الغربية ، ويمكن القول أن السبب في ذلك ليس المحتوى بل الأسلوب والموقف من الوصف. يتم وصف "Stoikeia" على أساس التعريفات ، والمسلمات ، والبديهيات ، ثم يتم اشتقاق النتائج فقط عن طريق الجدل ، وليس عن طريق الحدس. أوضحت هذه الطريقة الشكل المثالي للعلم واستخدمت كنموذج للأنظمة الأكاديمية في الأجيال القادمة. على سبيل المثال ، كتاب "الأخلاق" لبي دي سبينوزا (اكتمل 1675) وإي. نيوتن "مبادئ" (1687) مكتوب بهذه الطريقة. التعريفات والبديهيات ، على الرغم من انتقادها في كثير من الأحيان في الأجيال القادمة ، كانت لا تزال مصدر ولادة الرياضيات الجديدة.

لا تقتصر الهندسة اليونانية على إقليدس. قام فيثاغورس وأفلاطون ، اللذان كانت مُثلهما العليا متناغمة وعقلانية ، برسم باستخدام خطوط ودوائر مستقيمة فقط ، أي المسطرة والبوصلة ، رسمًا هندسيًا ، ورفض الرسم باستخدام منحنيات مثل القطع المكافئ. من خلال البناء الهندسي ، فإن مسألة "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية ، وإنشاء مكعب بضعف حجم مكعب ، وصنع مربع بنفس مساحة الدائرة" هي أقدم بكثير من الإقليدية. لقد تمت دراستها بحماس منذ العصور. ومع ذلك ، فقد تركت أخيرًا دون حل وتركت وراءها باعتبارها المشكلات الرئيسية الثلاث للرياضيات اليونانية ( مشكلة غير قابلة للرسم ). فيما يتعلق بمساحة الدائرة وحجم الكرة ، يذكر إقليدس فقط أنهما متناسبان مع مربع أو مكعب القطر ، وليس ثابت التناسب ، أي π / 4 أو π / 6. من ناحية أخرى ، أرخميدس ابتكر طريقة تسمى "طريقة الضغط" لحساب مساحة الدائرة وحجم الكرة بشكل صحيح ، ومن خلال إيجاد محيط الشكل السداسي المنتظم الذي ينقش أو يحصر دائرة. لقد أثبتنا أن 3.14 قيمة دقيقة حتى الرقم الثاني بعد الفاصلة العشرية. تمت معالجة القطع المكافئ من قبل أرخميدس أيضًا ، لكن Apollonius of Perge عالج القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ بطريقة موحدة مثل المقطع المخروطي الذي تم الحصول عليه كقطع عندما تم قطع السطح المخروطي بواسطة طائرة. نقوم بربط الحجم لتوضيح طبيعة هذه المنحنيات. تحت تأثير علم الفلك ، تم إنشاء حساب المثلثات المستوي وعلم المثلثات الكروية بواسطة Hipparcos حوالي عام 150 قبل الميلاد ، وحوالي 100 قبل الميلاد ، Heron ، التي تشتهر بصيغة منطقة المثلث ، والهندسة الأولية Menelaus و Putremaios (Tremy) ، الذي يظهر في نظرية ، ساهم.

الهندسة التحليلية

الهندسة الإقليدية هي نظام منطقي منظم للغاية ، لكنها علم إثبات ، وليست علم اكتشاف. بالإضافة إلى ذلك ، لا توجد طريقة موحدة لتقنية الإثبات ، وكل حالة تتطلب طريقتها الخاصة. الأسطورة التي سألها بطليموس الأول إقليدس ، "هل هناك طريقة أسرع من Stoikeia؟" وأجاب: "لا يوجد طريق ملكي في الهندسة" يمكن أن يقال لشرح هذا الموقف. في عصر النهضة في أوروبا ، تم إحياء الرياضيات اليونانية كما تم إدخال الجبر الذي حدث في الهند والجزيرة العربية. في بداية القرن السابع عشر ، كاد نظام الإشارة كصيغة عامة باستخدام الحروف قد تم إنشاؤه وأصبح جبرًا ، كما تم حل المعادلات ذات الترتيب الأدنى. على عكس الطريقة الإقليدية ، فإن الطرق الجبرية لحل المشكلات باستخدام المعادلات قابلة للاكتشاف وميكانيكية وموحدة. للعثور على المجهول ، يمكننا دمجها مع المجهول والتعبير عنها كمعادلة ، واختزالها إلى معادلة بسيطة عن طريق الحساب. P.de Fermat و R. Decart هي فكرة ما يسمى بالهندسة التحليلية ، حيث يمكن دراسة الهندسة جبرًا ويمكن دراسة الهندسة بالطرق الجبرية إذا تم تمثيل الأشكال بالتعبيرات العلائقية بين الأرقام عن طريق إدخال الإحداثيات. وصف جوت ديكارت ، على وجه الخصوص ، هذه الفكرة في أحد ملاحق كتابه الشهير ، خطاب حول المنهج (1637) ، الهندسة ، مؤكداً أن هذه الطريقة تعطي الهندسة قابلية الاكتشاف والوحدة. قدمت الهندسة التحليلية أساسًا قويًا لتطوير حساب التفاضل والتكامل ، وتقدم بشكل ملحوظ بواسطة L.Euler et al. في القرن الثامن عشر ، تم أيضًا تنظيم نظرية القسم المخروطي لأبولونيوس جبريًا كنظرية منحنى تربيعي. أدت الهندسة التحليلية إلى الاعتراف بأن الأرقام والأرقام لا تختلف اختلافًا جوهريًا ، أحدهما يمثل الآخر. كان لهذا الاعتراف تأثير كبير على تطور الرياضيات في الأجيال القادمة. على النقيض من الهندسة التحليلية ، فإن الهندسة التي تنظر مباشرة إلى الأشكال في النمط الإقليدي تسمى الهندسة العامة أو الهندسة البحتة.

الهندسة الإسقاطية

استمرت دراسة المنظور ، الذي بدأه فنانون مثل ليوناردو دافنشي وأ. دورر خلال عصر النهضة ، من وجهة نظر فنية ، وفي القرن السابع عشر ، تمت دراسة هذه الطريقة في الهندسة. بدأ بواسطة G. Desarg و B. Pascal. طريقة رسم المنظور هي طريقة لإسقاط شكل في الفضاء من نقطة ثابتة واحدة وإسقاطه على مستوى ، والتعبير عن الشكل الأصلي من خلال رسم الإسقاط هذا ، وهو بالضبط طريقة تعبير فوتوغرافي. من خلال الإسقاط ، تنتقل النقاط إلى النقاط وتتحرك الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة ، لكن المقياس مثل طول مقاطع الخط وحجم الزوايا يتغير وفقًا لذلك ، ويتم أيضًا كسر خاصية التوازي. ومع ذلك ، فمن الممكن عادة التعرف على الهيكل الهندسي للشكل الأصلي في الرسم الإسقاطي. قد يكون هذا بسبب وجود الخصائص الإسقاطية ، أي الخصائص الهندسية التي تكون ثابتة بسبب تشغيل الإسقاط. أبسط مثال على خاصية إسقاطية هو الاتصال بين نقطة وخط مستقيم ، مثل الخط الخطي (توجد بعض النقاط على خط مستقيم واحد) أو نقطة متزامنة (تتقاطع بعض الخطوط المستقيمة عند نقطة واحدة). ومع ذلك ، يمكن حتى لخطين مستقيمين متقاطعين أن يصبحا خطوطًا متوازية بسبب الإسقاط ، لذلك من الضروري قراءة أن الخطين المستقيمين المتوازيين يتقاطعان عند نقطة عند اللانهاية. يُظهر Desarugu و Pascal من خلال أمثلة مختلفة أنه ، بالنظر إلى النقطة عند اللانهاية والخط عند اللانهاية ، وهي مجموعة منها ، يمكن الحصول على الأشياء التي ذكرها الإغريق وأثبتوا بشكل فردي بطريقة موحدة وعالمية. كانت. من بين هذه ، نظرية Desarg أنه <إذا كان الخط المستقيم الذي يربط بين الرؤوس الثلاثة المقابلة لمثلثين يتقاطع عند نقطة واحدة ، فإن تقاطع الأضلاع المتناظرة يكون على خط مستقيم واحد ، والعكس صحيح> ، و <قسم مخروطي هناك نظرية باسكال التي الأضلاع المتقابلة للمسدس المدرج في منحنى ، أو تقاطعات امتداداتها ، تقع على خط مستقيم. بعد التقدم المذهل في الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل ، بعد ديسارج وباسكال ، تم نسيان دراسة الهندسة الإسقاطية ، ولكن في نهاية القرن الثامن عشر أعاد ج. مونج إحياء الإسقاط المنظور. في النصف الأول من القرن التاسع عشر ، أجريت دراسة منهجية للهندسة بالطرق الإسقاطية ، وتم إنشاء قسم فرعي للرياضيات يسمى الهندسة الإسقاطية. تم وضع الأساس بواسطة JV Poncelet ، الذي وجد أن نسبة التنافر هي خاصية إسقاطية وازدواجية الهندسة الإسقاطية. في وراثة هذا ، أظهر Steiner J. Steiner (1796-1863) أن المنحنيات الرباعية والأسطح الرباعية يمكن معالجتها بشكل إسقاطي ، وقدم AF Mobius و J. Plucker إحداثيات لتحليل الهندسة الإسقاطية. تم بناؤه كمنحة دراسية ، وقام Steiner KGC von Staudt (1798-1867) ببنائه باعتباره هندسة عامة بناءً على نظرية Desarg.

الهندسة غير الإقليدية

من بين المسلمات الخمس التي قدمها إقليدس ، فإن الخامس هو <إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين وكان مجموع الزوايا الداخلية على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، إذا تم تمديد الخطين المستقيمين إلى ما لا نهاية على هذا الجانب . تقاطع> ذكر. هذه البديهية أكثر تعقيدًا بكثير من البديهيات الأخرى ، وقد تم التشكيك في مدى وضوحها. لهذا السبب ، يُعتقد أن الفرضية الخامسة هي نظرية يمكن إثباتها من افتراضات أخرى ، وقد تمت تجربة إثباتها بلا هوادة منذ Proclus (410 أو 411-485) في القرن الرابع. خلال هذا الوقت ، تم العثور على الافتراض الخامس ليكون مكافئًا للقضايا مثل <هناك خط مستقيم واحد فقط يمر عبر نقطة واحدة خارج الخط المستقيم ويوازي ذلك الخط المستقيم> أو <مجموع الزوايا الداخلية للمثلثات هو زاويتان قائمتان>. ومع ذلك ، لا يمكن تحقيق الغرض الأصلي. من بين هؤلاء ، الجديرة بالملاحظة بشكل خاص تلك الخاصة بـ Sackeri G. Saccheri (1667-1733) و AM Legendre ، الذين حاولوا إثبات ذلك عن طريق الاختزال إلى العبث واستخلصوا نتائج مختلفة على افتراض أن الفرضية الخامسة لن تصمد. هناك بحث. ومع ذلك ، بسبب إيمانهم بالطبيعة البدائية للهندسة الإقليدية ، لم يتمكنوا من اعتبارها اقتراحًا يمكن أن ينكر الفرضية الخامسة. كان NI Lobachevsky هو الذي نفى بجرأة الافتراض الخامس واستبدله بالبديهية القائلة بأن هناك ما لا يقل عن خطين مستقيمين يمران عبر نقطة واحدة خارج الخط المستقيم ويتوازيان مع ذلك الخط المستقيم. في Boyai J. ، كان ذلك حوالي عام 1830. كان CF Gauss ، إمبراطور الرياضيات في ذلك الوقت ، يؤمن أيضًا بوجود مثل هذه الهندسة ووصفها بالهندسة غير الإقليدية ، ولكن اكتشف لاحقًا أنه جعلها غير منشورة خوفًا من نقد صاخب. ومع ذلك ، فقد طور هؤلاء الأشخاص مجرد هندسة غير إقليدية ولم يثبتوا اتساقها. أثار هذا السؤال حول ما إذا كان يمكن للهندسة الإقليدية وغير الإقليدية الصمود ، وهو ما تم حله بواسطة F. Klein et al. من نهاية القرن التاسع عشر إلى بداية القرن العشرين. أي أنهم صنعوا نموذجًا للهندسة غير الإقليدية في الهندسة الإقليدية ، وأظهروا أن الهندسة غير الإقليدية هي أيضًا نظام منطقي دون تناقض ، طالما أن الهندسة الإقليدية لا تحتوي على تناقض. في عام 1854 ، أنشأ ب. ليمان هندسة يكون فيها طول الخط المستقيم محدودًا ويتقاطع الخطان المستقيمان دائمًا عند نقطتين ، وقام كلاين بتغيير هذا قليلاً بحيث يتقاطع الخطان المستقيمان دائمًا عند نقطة واحدة. لقد قمت ببناء الهندسة. في حين أن هذه الهندسة غير الإقليدية تسمى الهندسة الإهليلجية ، فإن الهندسة غير الإقليدية المذكورة أعلاه تسمى الهندسة الزائدية. مجموع زوايا المثلث أكبر من زاويتين قائمتين في الهندسة الإهليلجية وأقل من زاويتين قائمتين في الهندسة الزائدية. أيضًا ، في الهندسة غير الإقليدية ، يتم تحديد مساحة المثلث بحجم زوايا القمة الثلاثة ، لذا فإن المثلثات المتشابهة متطابقة.

توحيد الهندسة والنظرية العامة

باستخدام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل النقاط على المستوى بمجموعة من رقمين حقيقيين ، والمسافة بين النقطتين اللتين إحداثياتهما (x 1 ، x 2 ) و ( y 1 ، y 2) هيبالرقم 00318301. وبالمثل ، يتم تمثيل النقطة في الفضاء بمجموعة من ثلاثة أعداد حقيقية ، والمسافة بين نقطتين إحداثياتهما (x 1 ، x 2 ، x 3 ) ، ( y 1 ، y 2 ، y 3) يكونsrc="https://mimirbook.com/resource/dictionary/sekaidaihyakka/figure/معطى.png?20220224112659" type="inline" />في 80065742. هذا معمم تحليليًا ، ونقطتان ( x 1 ، x 2 ، ....... ، x n ) ، ( y 1 ،) مع مجموعة من n أعداد حقيقية (x 1 ، x 2 ، ....... ، x n ) كنقاط. المسافة بين y 2 ، ……، y n)اعتبر مساحة الإقليدية الأبعاد N- التي قدمها 00318501 كتبها HG Grassman وآخرون. من منتصف القرن التاسع عشر. إلى جانب ذلك ، تم تعميم الهندسة المستوية والهندسة ثلاثية الأبعاد بشكل تحليلي على الهندسة الإقليدية ذات الأبعاد n ، كما تم تعميم الهندسة الإسقاطية والهندسة غير الإقليدية على الحالة ذات البعد n. كما ذكر أعلاه ، كانت هناك أشكال هندسية مختلفة في منتصف القرن التاسع عشر ، لكن كلاين ناقشها بطريقة موحدة في عام 1872 من وجهة نظر المجموعة. هذا هو برنامج إرلنغن الشهير. ثم وجد أن كل هندسة تحددها الفراغ S وهي مجموعة من النقاط ومجموعة التحويل G التي تعلوها ، وما تمت دراسته في تلك الهندسة هو خاصية الشكل في S وهي ثابتة في كل تحويل ينتمي إلى G. وقيل أن. وفقًا لهذا ، على سبيل المثال ، يتم تحديد الهندسة الإقليدية من خلال مجموعة مكونة من الفضاء الإقليدي وتحويل متطابق (مراسلات فردية على نفسها من الفضاء الإقليدي لا تغير المسافة بين أي نقطتين) ومتطابقة. تصبح هندسة تدرس الأطوال والمناطق الثابتة عن طريق التحويل. بالإضافة إلى ذلك ، يتم تحديد الهندسة الإسقاطية بواسطة مجموعة مكونة من الفضاء الإسقاطي (الفضاء بما في ذلك النقاط اللانهائية) والتحول الإسقاطي (المراسلات الفردية للمساحة الإسقاطية على نفسها التي تنقل خطًا مستقيمًا إلى خط مستقيم). تصبح هندسة تدرس خصائص الاقتران الثابتة وإزالة التناغم. علاوة على ذلك ، يمكن تعريف الهندسة الزائدية على أنها الهندسة المقابلة لهذا ، مع الأخذ في الاعتبار الجزء الداخلي للسطح الرباعي Q في الفضاء الإسقاطي كمساحة ، والنظر في المجموعة التي تم إنشاؤها بواسطة التحويل الإسقاطي الذي يجعل Q ثابتًا. يمكن تعريف الهندسة الإهليلجية بنفس الطريقة من خلال النظر إلى السطح الرباعي الخيالي مثل Q. لقد كان برنامج Erlangen ، كمبدأ إرشادي للبحث الهندسي ، موجودًا في العالم الهندسي لنحو 50 عامًا بعد نشره وقد قدم مساهمة كبيرة في تطور الهندسة. في النصف الأخير من القرن التاسع عشر ، تمت الإشارة أيضًا إلى أن Stoikeia لإقليدس ، والتي كانت تعتبر نظامًا منطقيًا كاملًا لسنوات عديدة ، بها العديد من العيوب المنطقية. على سبيل المثال ، اكتشف Pasch M. Pasch (1843-1930) أن البديهية "إذا دخل خط مستقيم داخل مثلث ، فإنه يخرج مرة أخرى". لهذا السبب ، تم إجراء بحث لتكملة فرضية إقليدية وإعطاء نظام بديهي منطقي كامل للهندسة الإقليدية ، وفي كتاب د. هيلبرت "أساس الهندسة" (1899 ، الطبعة الأولى ، 1930 ، الطبعة السابعة). رأيت الإنجاز.

الهندسة التفاضلية

يرتبط حساب التفاضل التفاضلي ارتباطًا وثيقًا بدراسة المنحنيات ، كما يتضح من دراسة فيرمات لكيفية رسم الظل للمنحنيات المستوية ، ومنذ إنشاء حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر ، حساب التفاضل. تم تطوير دراسة المنحنيات عن طريق تطبيق كجزء من حساب التفاضل. بعد ذلك ، تمت دراسة انحناء المنحنيات المستوية ، والدوائر المتذبذبة ، والتطورات ، والمغلفات ، وما إلى ذلك ، ولكن هذه الدراسات أدت إلى دراسات مماثلة حول المنحنيات المكانية ، وأجريت دراسات أخرى حول انحناء الأسطح المنحنية والجيوديسية في القرن الثامن عشر. تم إجراؤه كتطبيق لحساب التفاضل والتكامل بواسطة يوهان برنولي (1667-1748) ، أويلر ، جيه إل لاجرانج ، مونجو وآخرون. بهذه الطريقة ، بدأت الهندسة التفاضلية في دراسة خصائص الأسطح المنحنية والأسطح المنحنية باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، ولكن في بداية القرن التاسع عشر ، أسس غاوس أساس نظرية السطح المنحني وطور الهندسة على الأسطح المنحنية. نتيجة لذلك ، تم إنشاء الهندسة التفاضلية كتقسيم فرعي للرياضيات. بعد ذلك ، في القرن التاسع عشر ، وجدت Bonnet O. Bonnet (1819-92) و Bertramie E. Beltrami (1835-1900) و MS Lee و JG Dalboo وغيرهم العديد من النتائج المثيرة للاهتمام حول المنحنيات والأسطح المنحنية في الفضاء الإقليدي. قد تم. في القرن العشرين ، وتحت تأثير أفكار كلاين ، تمت دراسة الهندسة التفاضلية الإسقاطية ، التي تستخدم حساب التفاضل لدراسة الخصائص الثابتة في التحول الإسقاطي للمنحنيات والأسطح المنحنية في الفضاء الإسقاطي ، بواسطة Fubini et al. تمت دراسة هندسة تفاضلية مماثلة بواسطة W. Blachke (1885-1962) وآخرون. لمختلف المساحات الأخرى.

الهندسة الريمانية

المسافة ds بين نقطتين شبه لانهائيتين على السطح معبرًا عنها باستخدام المعلمتين u و v ، أي المسافة ds بين النقطتين على السطح المقابلة لـ (u ، v ) و ( u + du ، v + dv) يتم تقديمها على شكل ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2. هنا ، E و F و G هي دوال قابلة للتفاضل باستمرار فيما يتعلق بـ u و v. وجد Gauss أن الكميات والخصائص محددة فقط بواسطة E و F و G لا تعتمد على تمثيل المعلمة أو موضع السطح المنحني في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ولكنها الخصائص الداخلية للسطح المنحني نفسه ، ويتم وصف الهندسة على السطح المنحني. موسع. استلهم ريمان من هذا وقام بتعميمه ، مع n مجموعات من الأعداد الحقيقية ( x 1 ، x 2 ، ....... ، x n ) كنقاط ، ونقطتان لا متناهيتان تقريبًا ( x 1 ، x 2 ، ……). ، x n) و (x 1 + dx 1 ، x 2 + dx 2 ، ...... ، المسافة ds بين x n + dx n) تعتبر المساحة المعطاة بواسطة: مؤيد تم تكوينه هندسيًا لذلك فعل.هنا ، g i j (1 ≤ in ، 1 ≤ jn ) هي دالة قابلة للاشتقاق باستمرار بالنسبة إلى x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، وتفي ب g i j = g j أنا. إذا كانت ( x 1 ، x 2 ، ……، x n ) ≠ (0، 0، ……، 0) ، إذن Σ g i j x i x j > 0 ، وإذا كانت هذه هي الحالة ، فلماذا؟ قد يكون هناك. تم ذكر هذه الفكرة في محاضرة توظيف لمحاضر في جامعة غوتنغن عام 1854 ، بعنوان "حول الفرضية الأساسية للهندسة" ، وتسمى هذه الهندسة الهندسة الريمانيّة. الهندسة الريمانية الهندسة الإقليدية ، والهندسة غير الإقليدية الأخرى ، بما في ذلك عدد لا حصر له من الاستخلاص الهندسي من {g i j} ، كان الفكر ثورة في مفهوم المفاهيم والهندسة المكانية. بعد الهندسة الريمانية ، تمت دراسة الهندسة الريمانية بواسطة كريستوفل إي بي كريستوفيل (1829-1900) وريتش سي جي ريتشي (1853-1925) وآخرين كنظرية ثابتة للشكل التفاضلي من الدرجة الثانية ، ولكن في عام 1916 ، ظهرت نظرية النسبية العامة لأينشتاين. تم استخدامه في ما سبق واجتذب الكثير من الاهتمام. في ذلك الوقت تقريبًا ، قدم Levi-Civita (1873-1941) مفهوم الترجمة ، وحوالي 20 E.Cartan طوره إلى مفهوم الاتصال ، مما أدى إلى الهندسة في الهندسة الريمانية. تم إضافة الألوان الهندسية. في فضاء ريمان ، فإن التحول الوحيد الذي يجعل الطول ثابتًا هو تحويل الهوية ، لذلك لا يمكن القول أن الهندسة الريمانية هي هندسة بمعنى كلاين ، وانهار تطور الهندسة الريمانية في فكرة برنامج إرلانجن. ولد (حاتان).

البنية

لقد ذكرت سابقًا أنه في الهندسة الإقليدية والهندسة الإسقاطية ، تمت دراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير بسبب تحويل التطابق والتحول الإسقاطي ، على التوالي ، ولكن المرحلة أكثر عمومية من التحول التطابق والتحول الإسقاطي. هناك شيء يسمى التحويل أو رسم الخرائط على مراحل. هذا هو تطابق واحد لواحد بين رقمين ، ويكون هو والتخطيط العكسي مستمر. لذلك ، يمكننا التفكير في الهندسة التي تدرس الخصائص التي لا تتغير مع تشابه الشكل. الطوبولوجيا هي رياضيات غرضها الرئيسي هو مثل هذا البحث ، وكما تُترجم إلى الطوبولوجيا ، فإن هذه الهندسة هي خاصية مرتبطة بموضع وشكل الشكل ، وتعتمد فقط على استمرارية النقاط. يتم التعامل مع الطبيعة. تم توقع الطوبولوجيا بواسطة GW Leibniz تحت اسم تحليل الموقع ، ولكن تم تقديم العمل الملموس لأول مرة بواسطة أويلر. دراسة بضربة واحدة (1736) ومتعدد السطوح المحدب الذي يتماثل مع كرة ، فيما يتعلق بمسألة ما إذا كان يمكن عبور كل من الجسور السبعة في مدينة كونيغسبيرغ مرارًا وتكرارًا دون تكرار. هذه هي النظرية (1752) القائلة بأن α 0- α 1 + α 2 هي دائمًا 2 عندما يكون عدد الرؤوس والجوانب والأوجه هو α 0 و α 1 و α 2 على التوالي.بعد أويلر ، لم يكن هناك عمل على الطوبولوجيا حتى ظهرت دراسة جاوس (1853) حول عدد غثيان الصباح لمنحنيين مغلقين في الفضاء. بسبب تأثير Gauss ، أصبحت دراسة طوبولوجيا الأسطح المنحنية نشطة ، ودرس موبيوس وريمان وآخرون كيفية توصيل الأسطح المنحنية ، وتم اكتشاف شريط موبيوس ، المشهور كسطح منحني غير موجه (1857). تم الحصول على مفهوم سطح ريمان ، والذي يلعب دورًا مهمًا في النظرية (1851). ظهرت كلمة طوبولوجيا أيضًا لأول مرة في الأدب كعنوان لكتيب كتبه قائمة JB Listings (1808-82) في عام 1847. وتبع الأسطح المنحنية C. (1856-1934) وآخرون ، وفي نهاية القرن التاسع عشر ، تم تصنيف تماثل الشكل المغلق. منجز. فيما يتعلق بالمنحنيات ، أثبتت نظرية جوردان أنه "عندما يكون منحنى مغلق لا يتقاطع مع نفسه على مستوى ، فإنه يقسم المستوى إلى منطقتين ، في الداخل والخارج" يتم إثباته (1893) ، والاستمرارية التي تملأ الجزء الداخلي من المربع . تم اكتشاف المنحنيات بواسطة G.Peano (1890) ، وأصبح تعريف المنحنيات والأبعاد مشكلة. في المحاضرة أعلاه ، اقترح Lehman تقديم مفهوم متعدد الأبعاد لتوسيع مفهوم الفضاء والتفكير في هندسته ، واتبع Betti E. Betti (1823-92) هذه الفكرة. لقد حصلنا على مفهوم أرقام Betti باعتبارها ثوابت طوبولوجية تمثل التوصيلية عالية الأبعاد للمشعبات (1870). بعد هذا العمل الرائد ، تم وضع أساس الطوبولوجيا بواسطة H. Poincaré. لقد حدد بوضوح متشعب الأبعاد n ، يجب تعيينه بالقرب من الفضاء الإقليدي ذي البعد n ونقطة الطور لكل نقطة ، متعدد السطوح متعدد السطوح ، أي ثابت في الأشكال الأولية تسمى شبكة Toka المفردة ومن الملائم التعامل معها معًا كأرقام يمكن ربطها بطريقة ما. ثم قام بتعريف مجموعات التنادد والمجموعات الأساسية لمتعدد الوجوه ودرس طوبولوجيا المشعبات (1895). كانت فكرة استخدام نظرية المجموعة في الجبر لدراسة استمرارية الأرقام رائدة حقًا ، واكتسبت الطوبولوجيا طريقة بحث قوية هنا. تم توريث هذه الطريقة من قبل LEJ Broel ، وتبعها Veblen O. Veblen (1880-1960) ، و Alexander JW Alexander ، S. Lefschetz وآخرون في عشرينيات القرن الماضي ، وتم تعميمها بشكل صارم. علاوة على ذلك ، من خلال هذه العملية ، تم الحصول على نظرية النقطة الثابتة ، وتم التعرف على أهمية الطوبولوجيا لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا. كان جي كانتور ، مؤسس نظرية المجموعات ، هو الذي قدم مساهمة كبيرة في تكوين الطوبولوجيا مع بوانكاريه. قدم مفاهيم الطور مثل نقاط الحد والمجموعات المفتوحة والمجموعات المغلقة لمجموعات النقاط العامة في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، وأسس نظرية مجموعة النقاط ، أي نظرية الطور في الفضاء الإقليدي (1879-1884). ). في القرن العشرين ، تم تعميم نظرية مجموعة النقاط على نظرية الفضاء المتري بواسطة M. Frechet (1906) ، بالإضافة إلى نظرية الفضاء بواسطة F. Hausdorf et al. في العشرينات. نتيجة لذلك ، تم تطوير نظرية الحد والاستمرارية في الفضاء المجرد ، وإلى جانب ذلك ، تم تحديد المنحنيات والأبعاد ومجموعات التماثل ، وما إلى ذلك للفضاء الطوبولوجي ، وتم توضيح جوهرها. على وجه الخصوص ، وجد أن مجموعة التماثل ثابتة حتى مع خريطة تسمى تكافؤ التماثل ، وهي أوسع من تماثل الشكل ولا تحتوي بالضرورة على تطابق واحد لواحد ، وأصبح البحث عن التماثل النشط نشطًا. تم تقديم مجموعة homotopy ، وهي تعميم للمجموعة الأساسية ، بواسطة Hurewicz (1904-56) (1935) ، وتم إجراء بحث حول homotopy باستخدام هذا كسلاح ، وأسهمت النتائج في حل العديد من المشكلات في الرياضيات. ..

الهندسة الحديثة

منذ بوانكاريه ، أحرزت الأبحاث المتعلقة بالتشعبات تقدمًا ضئيلًا باستثناء البحث في الخصائص المتجانسة والمشعبات ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك ، منذ عام 1940 ، عندما تم إنشاء مفهوم المشعبات القابلة للتفاضل وتم تقديم مفهوم الحزم الليفية ، تقدم البحث في المشعبات من خلال تطبيق نظرية التماثل والتماثل. خاصة في أواخر الخمسينيات من القرن الماضي ، تم حل العديد من المشكلات المهمة المتعلقة بالمشعبات الواحدة تلو الأخرى. ومع ذلك ، فإن المشعبات ثلاثية الأبعاد والصعبة حتى ذات الأبعاد العالية بشكل غير متوقع ، إذا تم التعاقد في أي منحنى مغلق في نقطة M 1 على <مشعب مغلق ثلاثي الأبعاد M ، M هو كرة ثلاثية الأبعاد The Poincare's الشهيرة التخمين بأنه سيكون في الطور لم يتم حله أيضًا. منذ أن تم تطوير الهندسة التفاضلية باستخدام حساب التفاضل كوسيلة رئيسية ، كانت معظم موضوعات البحث مرتبطة بالخصائص المحلية للفضاء ، ولكن في العصر الحديث ، تم الاهتمام بخصائص الأشكال ككل ، وحساب التفاضل. تم تطوير الهندسة أيضًا على مشعبات. هناك ، يتم دراسة نظرية المشعبات المتشعبة المعطاة لهياكل مثل الأشكال التفاضلية التربيعية والهياكل المعقدة والوصلات ، وخاصة دراسة العلاقة بين الخصائص الهندسية التفاضلية والخصائص الطوبولوجية. أصبح. من خلال تعميم المنحنيات الرباعية والأسطح الرباعية ، فإن مجموعة الحلول المشتركة للعديد من المعادلات الجبرية في الفضاء عالي الأبعاد تسمى التنوعات الجبرية ، والرياضيات لدراسة ذلك تسمى الهندسة الجبرية. نظرًا لأنه يستخدم الجبر بشكل أساسي كوسيلة ، فهو ينتمي إلى مجال الجبر. في الوقت الحاضر ، يتم تطوير العديد من الرياضيات في مرحلة المشعبات ، وتتخلل الهندسة الرياضيات بشكل عام وتتطور عضوياً فيما يتعلق بالجبر والتحليل.
مينورو ناوكا